Номер 15.14, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 15. Сочетания (комбинации). Упражнения - номер 15.14, страница 129.

Учебник.

15.14. На прямой отметили 12 точек, а на параллельной ей прямой – 7 точек. Сколько существует четырёхугольников с вершинами в этих точках?

Решение.

Решение 2.

Чтобы построить четырёхугольник, используя точки, расположенные на двух параллельных прямых, необходимо выбрать четыре вершины так, чтобы никакие три из них не лежали на одной прямой. В данном случае это означает, что вершины четырёхугольника должны располагаться на обеих прямых.

Единственный способ сформировать четырёхугольник из точек на двух параллельных прямых — это выбрать две вершины на одной прямой и две вершины на другой. Любой другой выбор (например, три точки на одной прямой и одна на другой) приведёт к образованию треугольника, а не четырёхугольника.

Таким образом, задача сводится к двум независимым действиям:

1. Выбрать 2 точки из 12 доступных на первой прямой.
2. Выбрать 2 точки из 7 доступных на второй прямой.

Количество способов выбрать $k$ элементов из множества $n$ элементов (без учёта порядка) определяется числом сочетаний, формула которого: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

1. Найдём количество способов выбрать 2 точки из 12 на первой прямой:
$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 6 \times 11 = 66$ способов.

2. Найдём количество способов выбрать 2 точки из 7 на второй прямой:
$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 7 \times 3 = 21$ способ.

Чтобы найти общее количество возможных четырёхугольников, нужно перемножить количество способов для каждого независимого выбора (согласно комбинаторному правилу умножения):
$N_{четыр.} = C_{12}^2 \times C_7^2 = 66 \times 21 = 1386$.

Ответ: 1386.