Номер 15.17, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 15. Сочетания (комбинации). Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 15.17, страница 129.

15.17. В классе 35 учащихся. Для участия в турнире «Математический бой» формируется команда, состоящая из капитана, его заместителя и четырёх членов команды. Сколькими способами можно сформировать такую команду?

Для решения этой задачи необходимо последовательно определить количество способов для выбора каждой из позиций в команде и затем перемножить эти значения, используя правило произведения в комбинаторике.

Команда состоит из капитана, его заместителя и четырёх рядовых членов. Всего в команде $1 + 1 + 4 = 6$ человек. Общее число учащихся в классе — 35.

Процесс формирования команды можно разбить на три этапа:

1. Выбор капитана. Капитана можно выбрать из 35 учащихся. Следовательно, существует 35 способов.
2. Выбор заместителя капитана. После того как капитан выбран, остаются 34 учащихся. Заместителя можно выбрать из этих 34 человек, поэтому существует 34 способа.
3. Выбор четырёх членов команды. После выбора капитана и его заместителя в классе остаются $35 - 2 = 33$ учащихся. Из этих 33 человек нужно выбрать 4. Так как порядок выбора этих четырёх членов команды не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Число способов выбрать 4 членов команды из 33 учащихся равно:

$C_{33}^4 = \frac{33!}{4!(33-4)!} = \frac{33!}{4!29!} = \frac{33 \times 32 \times 31 \times 30}{4 \times 3 \times 2 \times 1}$

Рассчитаем это значение:

$C_{33}^4 = \frac{33 \times 32 \times 31 \times 30}{24}$

Сократим дробь:

$C_{33}^4 = 33 \times \frac{32}{8} \times 31 \times \frac{30}{3} = 33 \times 4 \times 31 \times 10 = 132 \times 310 = 40920$

Таким образом, существует 40 920 способов выбрать четырёх членов команды.

Чтобы найти общее количество способов сформировать команду, перемножим количество способов на каждом этапе:

Общее число способов = (способы выбрать капитана) × (способы выбрать заместителя) × (способы выбрать 4 членов команды)

Общее число способов = $35 \times 34 \times 40920 = 1190 \times 40920 = 48694800$

Ответ: 48 694 800 способов.