Номер 15.10, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 15. Сочетания (комбинации). Упражнения - номер 15.10, страница 129.

Учебник.

15.10. Встретившись, семеро знакомых пожали друг другу руки. Сколько рукопожатий было сделано?

Решение.

Решение 2.

Эта задача заключается в подсчете количества уникальных пар, которые можно составить из 7 человек. Каждое рукопожатие — это взаимодействие между двумя людьми, и порядок в этой паре не имеет значения (рукопожатие между человеком А и Б — это то же самое, что и рукопожатие между Б и А). Это классическая задача из комбинаторики на нахождение числа сочетаний.

Для решения можно использовать формулу числа сочетаний из $n$ элементов по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество людей $n = 7$, а для одного рукопожатия требуется $k = 2$ человека.

Подставляем эти значения в формулу:

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6}{2} = \frac{42}{2} = 21$

Также задачу можно решить с помощью логических рассуждений:

Первый человек пожмет руку 6 остальным знакомым (6 рукопожатий).
Второй человек уже пожал руку первому, поэтому он пожмет руку оставшимся 5 людям (5 новых рукопожатий).
Третий человек пожмет руку оставшимся 4 людям (4 новых рукопожатия).
Четвертый — 3 людям (3 новых рукопожатия).
Пятый — 2 людям (2 новых рукопожатия).
Шестой — последнему, седьмому человеку (1 новое рукопожатие).
Седьмой к этому моменту уже обменялся рукопожатиями со всеми.

Чтобы найти общее количество рукопожатий, нужно сложить все эти значения:

$6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: 21