Номер 15.3, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 15. Сочетания (комбинации). Упражнения - номер 15.3, страница 128.

Учебник.

15.3. Упростите выражение:

1) $\frac{2}{n}C_{n+1}^{n-1}$,

2) $\frac{3}{n}C_{2n}^{2n-1}$.

Решение.

Решение 2.

1) Для упрощения выражения $\frac{2}{n}C_{n+1}^{n-1}$ воспользуемся формулой для числа сочетаний (биномиального коэффициента): $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Применим эту формулу к члену $C_{n+1}^{n-1}$. В данном случае общее число элементов равно $n+1$, а число выбираемых элементов — $n-1$.

$C_{n+1}^{n-1} = \frac{(n+1)!}{(n-1)!((n+1)-(n-1))!} = \frac{(n+1)!}{(n-1)!2!}$.

Чтобы упростить это выражение, распишем $(n+1)!$ как $(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!$ и подставим в дробь:

$C_{n+1}^{n-1} = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{(n-1)! \cdot 2!} = \frac{n(n+1)}{2}$.

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$\frac{2}{n}C_{n+1}^{n-1} = \frac{2}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$.

Сократив общие множители $n$ и $2$ в числителе и знаменателе, получаем:

$\frac{\cancel{2}}{\cancel{n}} \cdot \frac{\cancel{n}(n+1)}{\cancel{2}} = n+1$.

Ответ: $n+1$.

2) Для упрощения выражения $\frac{3}{n}C_{2n}^{2n-1}$ снова воспользуемся формулой для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Применим формулу к члену $C_{2n}^{2n-1}$. Здесь общее число элементов равно $2n$, а число выбираемых элементов — $2n-1$.

$C_{2n}^{2n-1} = \frac{(2n)!}{(2n-1)!(2n-(2n-1))!} = \frac{(2n)!}{(2n-1)!1!}$.

Так как $(2n)! = 2n \cdot (2n-1)!$ и $1! = 1$, мы можем упростить выражение:

$C_{2n}^{2n-1} = \frac{2n \cdot (2n-1)!}{(2n-1)! \cdot 1} = 2n$.

Также можно было использовать свойство симметрии биномиальных коэффициентов $C_n^k = C_n^{n-k}$:

$C_{2n}^{2n-1} = C_{2n}^{2n-(2n-1)} = C_{2n}^1 = 2n$.

Теперь подставим найденное значение $C_{2n}^{2n-1} = 2n$ в исходное выражение:

$\frac{3}{n}C_{2n}^{2n-1} = \frac{3}{n} \cdot (2n)$.

Сократив $n$, получаем конечный результат:

$\frac{3}{\cancel{n}} \cdot 2\cancel{n} = 3 \cdot 2 = 6$.

Ответ: $6$.