Номер 15.3, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 15. Сочетания (комбинации). Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 15.3, страница 128.
№15.3 (с. 128)
Учебник. №15.3 (с. 128)
скриншот условия

15.3. Упростите выражение:
1) $\frac{2}{n}C_{n+1}^{n-1}$,
2) $\frac{3}{n}C_{2n}^{2n-1}$.
Решение. №15.3 (с. 128)

Решение 2. №15.3 (с. 128)
1) Для упрощения выражения $\frac{2}{n}C_{n+1}^{n-1}$ воспользуемся формулой для числа сочетаний (биномиального коэффициента): $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Применим эту формулу к члену $C_{n+1}^{n-1}$. В данном случае общее число элементов равно $n+1$, а число выбираемых элементов — $n-1$.
$C_{n+1}^{n-1} = \frac{(n+1)!}{(n-1)!((n+1)-(n-1))!} = \frac{(n+1)!}{(n-1)!2!}$.
Чтобы упростить это выражение, распишем $(n+1)!$ как $(n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)!$ и подставим в дробь:
$C_{n+1}^{n-1} = \frac{(n+1) \cdot n \cdot (n-1)!}{(n-1)! \cdot 2!} = \frac{n(n+1)}{2}$.
Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:
$\frac{2}{n}C_{n+1}^{n-1} = \frac{2}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$.
Сократив общие множители $n$ и $2$ в числителе и знаменателе, получаем:
$\frac{\cancel{2}}{\cancel{n}} \cdot \frac{\cancel{n}(n+1)}{\cancel{2}} = n+1$.
Ответ: $n+1$.
2) Для упрощения выражения $\frac{3}{n}C_{2n}^{2n-1}$ снова воспользуемся формулой для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Применим формулу к члену $C_{2n}^{2n-1}$. Здесь общее число элементов равно $2n$, а число выбираемых элементов — $2n-1$.
$C_{2n}^{2n-1} = \frac{(2n)!}{(2n-1)!(2n-(2n-1))!} = \frac{(2n)!}{(2n-1)!1!}$.
Так как $(2n)! = 2n \cdot (2n-1)!$ и $1! = 1$, мы можем упростить выражение:
$C_{2n}^{2n-1} = \frac{2n \cdot (2n-1)!}{(2n-1)! \cdot 1} = 2n$.
Также можно было использовать свойство симметрии биномиальных коэффициентов $C_n^k = C_n^{n-k}$:
$C_{2n}^{2n-1} = C_{2n}^{2n-(2n-1)} = C_{2n}^1 = 2n$.
Теперь подставим найденное значение $C_{2n}^{2n-1} = 2n$ в исходное выражение:
$\frac{3}{n}C_{2n}^{2n-1} = \frac{3}{n} \cdot (2n)$.
Сократив $n$, получаем конечный результат:
$\frac{3}{\cancel{n}} \cdot 2\cancel{n} = 3 \cdot 2 = 6$.
Ответ: $6$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 15.3 расположенного на странице 128 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №15.3 (с. 128), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.