Номер 14.31, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Готовимся к изучению новой темы. § 14. Перестановки. Размещения. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 14.31, страница 126.

14.31. Выясните, каких подмножеств у пятиэлементного множества больше: двухэлементных или трёхэлементных.

Чтобы ответить на вопрос, необходимо найти количество двухэлементных и трёхэлементных подмножеств у множества, состоящего из 5 элементов, и сравнить эти количества.

Количество $k$-элементных подмножеств у $n$-элементного множества вычисляется по формуле числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашей задаче исходное множество состоит из 5 элементов, то есть $n=5$.

двухэлементных

Вычислим количество двухэлементных подмножеств. В этом случае $k=2$.

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

Следовательно, у пятиэлементного множества существует 10 двухэлементных подмножеств.

трёхэлементных

Теперь вычислим количество трёхэлементных подмножеств. В этом случае $k=3$.

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$.

Следовательно, у пятиэлементного множества существует 10 трёхэлементных подмножеств.

Сравнивая полученные значения, мы видим, что количество двухэлементных подмножеств (10) равно количеству трёхэлементных подмножеств (10).

Этот результат также следует из свойства симметрии для числа сочетаний: $C_n^k = C_n^{n-k}$. В данном случае $C_5^2 = C_5^{5-2} = C_5^3$. Комбинаторный смысл этого свойства заключается в том, что выбор $k$ элементов для подмножества однозначно определяет $n-k$ элементов, которые в это подмножество не войдут. Таким образом, каждому двухэлементному подмножеству соответствует ровно одно трёхэлементное подмножество (его дополнение), и наоборот.

Ответ: Количество двухэлементных и трёхэлементных подмножеств у пятиэлементного множества одинаково.