Номер 14.26, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 14. Перестановки. Размещения. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 14.26, страница 125.

14.26. Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна чётная цифра?

Для решения этой задачи воспользуемся методом от противного. Это значит, что мы сначала найдём общее количество всех пятизначных чисел, а затем вычтем из него количество тех пятизначных чисел, которые не удовлетворяют условию задачи, то есть тех, в записи которых нет ни одной чётной цифры.

1. Найдём общее количество пятизначных чисел.Пятизначное число не может начинаться с цифры 0. Следовательно, на первом месте может стоять любая из 9 цифр (от 1 до 9). На каждой из следующих четырёх позиций может стоять любая из 10 цифр (от 0 до 9).Таким образом, общее количество пятизначных чисел равно:$N_{общ} = 9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 90000$.

2. Теперь найдём количество пятизначных чисел, в записи которых нет ни одной чётной цифры. Это означает, что все цифры в числе должны быть нечётными.Нечётных цифр всего пять: {1, 3, 5, 7, 9}.Для каждой из пяти позиций в пятизначном числе мы можем выбрать любую из этих пяти цифр.Количество таких чисел равно:$N_{нечёт} = 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^5 = 3125$.

3. Наконец, чтобы найти количество пятизначных чисел, в которых есть хотя бы одна чётная цифра, вычтем из общего количества пятизначных чисел количество чисел, состоящих только из нечётных цифр:$N = N_{общ} - N_{нечёт} = 90000 - 3125 = 86875$.

Ответ: 86875