Номер 14.23, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 14. Перестановки. Размещения. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 14.23, страница 125.

14.23. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, чтобы цифры не повторялись и крайние цифры были чётными?

14.23.

Для решения задачи необходимо использовать принципы комбинаторики. Нам нужно составить шестизначное число из заданного набора цифр с определёнными ограничениями.

Заданный набор цифр: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Всего 7 цифр.

Условия:

• Число должно быть шестизначным.
• Цифры в числе не должны повторяться.
• Первая и последняя цифры (крайние) должны быть чётными.

Решение можно разбить на следующие шаги:

1. Выбор и расстановка цифр на крайние позиции.

Крайние позиции — это первая и шестая. На них должны стоять чётные цифры. В нашем наборе есть три чётные цифры: {2, 4, 6}.

Нам нужно выбрать 2 цифры из этих 3 и расставить их на двух позициях. Порядок важен (число, начинающееся с 2, отличается от числа, начинающегося с 4), поэтому мы вычисляем количество размещений из 3 элементов по 2 ($A_3^2$).

Формула для размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

Количество способов выбрать и расставить крайние цифры:

$A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3!}{1!} = 3 \times 2 = 6$.

Также можно рассуждать так: на первую позицию можно поставить любую из 3 чётных цифр. После этого на последнюю позицию останется 2 варианта. Итого: $3 \times 2 = 6$ способов.

2. Выбор и расстановка цифр на средние позиции.

Мы уже использовали 2 цифры для крайних позиций. Из начальных 7 цифр у нас осталось $7 - 2 = 5$ цифр.

В шестизначном числе, после заполнения крайних позиций, остаются $6 - 2 = 4$ свободные средние позиции.

На эти 4 позиции нужно расставить 4 цифры из 5 оставшихся. Снова используем формулу размещений, на этот раз из 5 по 4 ($A_5^4$).

Количество способов заполнить средние позиции:

$A_5^4 = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$.

3. Расчёт общего количества чисел.

По правилу произведения в комбинаторике, общее количество возможных чисел равно произведению количества способов для каждого этапа.

Общее количество = (Количество способов для крайних позиций) $\times$ (Количество способов для средних позиций).

Общее количество = $A_3^2 \times A_5^4 = 6 \times 120 = 720$.

Таким образом, из данных цифр можно составить 720 различных шестизначных чисел, удовлетворяющих всем условиям.

Ответ: 720