Номер 14.19, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 14. Перестановки. Размещения. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 14.19, страница 125.

14.19. Сколько существует семизначных чисел, которые делятся нацело на 25?

Для решения данной задачи можно использовать два способа: комбинаторный и с помощью арифметической прогрессии.

Способ 1: Комбинаторный метод

Этот метод основан на признаке делимости на 25. Число делится на 25 без остатка тогда и только тогда, когда число, образованное его двумя последними цифрами, делится на 25. Существует четыре таких двузначных окончания: 00, 25, 50 и 75.

Рассмотрим структуру семизначного числа.

• Для последних двух цифр есть 4 варианта.
• Для первой цифры, которая не может быть нулём (иначе число не будет семизначным), есть 9 вариантов (цифры от 1 до 9).
• Для каждой из оставшихся четырёх цифр (со второй по пятую) есть по 10 вариантов (цифры от 0 до 9).

Чтобы найти общее количество таких чисел, необходимо перемножить количество доступных вариантов для всех позиций:

$$N = (\text{варианты для 1-й цифры}) \times (\text{варианты для 2-5-й цифр}) \times (\text{варианты для 6-7-й цифр})$$

$$N = 9 \times 10^4 \times 4$$

$$N = 90\;000 \times 4 = 360\;000$$

Способ 2: Метод арифметической прогрессии

Семизначные числа, которые делятся на 25, образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = 25$.

Первый член этой прогрессии ($a_1$) — это наименьшее семизначное число, кратное 25. Наименьшее семизначное число — 1 000 000. Так как $1\;000\;000 \div 25 = 40\;000$, оно делится на 25. Следовательно, $a_1 = 1\;000\;000$.

Последний член прогрессии ($a_n$) — это наибольшее семизначное число, кратное 25. Наибольшее семизначное число — 9 999 999. Чтобы найти наибольшее кратное 25, не превышающее его, найдем остаток от деления: $9\;999\;999 = 25 \times 399\;999 + 24$. Отнимем остаток: $9\;999\;999 - 24 = 9\;999\;975$. Таким образом, $a_n = 9\;999\;975$.

Количество членов прогрессии $n$ находим по формуле:

$$n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$$

$$n = \frac{9\;999\;975 - 1\;000\;000}{25} + 1 = \frac{8\;999\;975}{25} + 1$$

$$n = 359\;999 + 1 = 360\;000$$

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: 360 000