Номер 14.25, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 14. Перестановки. Размещения. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 14.25, страница 125.

14.25. Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна нечётная цифра?

Для решения этой задачи воспользуемся методом от противного. Вместо того чтобы считать числа, в которых есть хотя бы одна нечётная цифра, мы найдем общее количество пятизначных чисел и вычтем из него количество тех пятизначных чисел, которые состоят только из чётных цифр. Полученная разность и будет искомым числом.

1. Найдем общее количество пятизначных чисел.
Пятизначное число — это число от 10 000 до 99 999. Его первая цифра не может быть нулём.

• На первую позицию можно поставить любую цифру от 1 до 9 (9 вариантов).
• На каждую из следующих четырех позиций можно поставить любую цифру от 0 до 9 (10 вариантов).

Таким образом, общее количество пятизначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:$N_{общ} = 9 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 9 \times 10^4 = 90000$.

2. Найдем количество пятизначных чисел, состоящих только из чётных цифр.
Чётные цифры — это {0, 2, 4, 6, 8}. Всего их 5.
Чтобы составить пятизначное число только из чётных цифр, нужно учесть, что первая цифра не может быть нулём.

• На первую позицию можно поставить любую из 4 чётных цифр, кроме нуля (2, 4, 6, 8).
• На каждую из следующих четырех позиций можно поставить любую из 5 чётных цифр (0, 2, 4, 6, 8).

Количество таких чисел равно:$N_{чётн} = 4 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 4 \times 5^4 = 4 \times 625 = 2500$.

3. Найдем количество пятизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна нечётная цифра.
Для этого из общего количества пятизначных чисел вычтем количество чисел, состоящих только из чётных цифр:$N = N_{общ} - N_{чётн} = 90000 - 2500 = 87500$.

Ответ: 87500