Номер 14.20, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 14. Перестановки. Размещения. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 14.20, страница 125.

14.20. У учащегося есть 7 книг по математике, 4 книги по физике и 2 книги по астрономии. Сколькими способами он может расставить эти книги на полке так, чтобы книги по одному предмету стояли рядом?

Для решения этой задачи необходимо использовать комбинаторный принцип умножения. Задача решается в несколько этапов: сначала мы находим количество способов расставить группы книг по предметам, затем — количество способов расставить книги внутри каждой группы, и, наконец, перемножаем эти результаты.

Поскольку книги по одному предмету должны стоять рядом, мы можем рассматривать каждую группу книг как один единый объект или блок. Таким образом, у нас есть 3 таких блока:
1. Блок книг по математике (7 шт.)
2. Блок книг по физике (4 шт.)
3. Блок книг по астрономии (2 шт.)

Количество способов переставить эти 3 блока на полке равно числу перестановок из 3 элементов, которое вычисляется как $3!$ (3 факториал):
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ способов.

Теперь необходимо найти количество возможных перестановок книг внутри каждого блока.
- Для 7 книг по математике количество перестановок равно $7!$:
$P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$ способов.
- Для 4 книг по физике количество перестановок равно $4!$:
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ способа.
- Для 2 книг по астрономии количество перестановок равно $2!$:
$P_2 = 2! = 2 \times 1 = 2$ способа.

Чтобы найти общее количество способов расстановки, нужно перемножить количество способов расстановки блоков и количество способов перестановок книг внутри каждого блока.
Общее число способов $N = (P_3) \times (P_7) \times (P_4) \times (P_2)$.
$N = 3! \times 7! \times 4! \times 2!$
Подставим вычисленные значения:
$N = 6 \times 5040 \times 24 \times 2$
$N = 30240 \times 48$
$N = 1451520$

Ответ: $1451520$