Номер 14.15, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 14. Перестановки. Размещения. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 14.15, страница 125.

14.15. Сколькими способами 30 учеников могут сесть за 15 парт?

Задача заключается в нахождении количества способов рассадить 30 учеников за 15 двухместных парт.

Для решения будем исходить из следующих предположений, которые являются стандартными для такого рода задач:

• Все 30 учеников — это разные личности, то есть они различимы.
• Все 15 парт различимы, так как занимают уникальные положения в пространстве класса (например, первая парта в ряду у окна отличается от первой парты в центральном ряду).
• Каждая парта имеет два места (например, левое и правое), и эти места также различимы. Если ученики А и Б поменяются местами за одной и той же партой, это будет считаться новой рассадкой.

Исходя из этих условий, мы имеем 30 различных учеников и 30 различных посадочных мест:

$15 \text{ парт} \times 2 \text{ места} = 30 \text{ мест}$

Таким образом, задача сводится к вычислению количества способов, которыми можно разместить 30 различных объектов (учеников) на 30 различных позициях (местах). Это является классической задачей на нахождение числа перестановок.

Рассмотрим процесс рассадки пошагово:

• Для первого ученика есть 30 вариантов выбора места.
• Когда первый ученик выбрал свое место, для второго ученика остается 29 свободных мест.
• Для третьего ученика остается 28 свободных мест.
• Этот процесс продолжается до тех пор, пока не останется последний, тридцатый ученик, для которого будет только 1 свободное место.

По основному правилу комбинаторики (правилу умножения), общее количество способов рассадки равно произведению числа вариантов на каждом шаге:

$N = 30 \times 29 \times 28 \times \dots \times 2 \times 1$

Данное произведение является факториалом числа 30 и обозначается как $30!$.

Ответ: $30!$.