Номер 14.14, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 14. Перестановки. Размещения. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 14.14, страница 125.
№14.14 (с. 125)
Учебник. №14.14 (с. 125)
скриншот условия

14.14. На плоскости отметили 10 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько различных незамкнутых ломаных с вершинами в данных точках можно построить, если ломаная должна проходить через каждую из десяти точек по одному разу?
Решение. №14.14 (с. 125)

Решение 2. №14.14 (с. 125)
Для того чтобы построить незамкнутую ломаную, проходящую через каждую из 10 точек по одному разу, нам нужно выбрать порядок, в котором эти точки будут соединены. По сути, каждая такая ломаная представляет собой упорядоченную последовательность всех 10 точек.
Задача сводится к нахождению количества различных способов упорядочить 10 точек. Это является классической задачей комбинаторики на нахождение числа перестановок.
Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$. В данном случае у нас 10 точек, то есть $n=10$.
Количество всех возможных последовательностей из 10 точек равно:
$P_{10} = 10! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 = 3 628 800$
Однако, ломаная как геометрический объект не имеет направления. Это означает, что ломаная, построенная по последовательности точек $A_1, A_2, \dots, A_{10}$, является той же самой ломаной, что и построенная по обратной последовательности $A_{10}, A_9, \dots, A_1$. Например, ломаная, соединяющая точки в порядке А-В-С, и ломаная С-В-А — это один и тот же набор отрезков.
Поскольку ломаная незамкнута, любая последовательность и ее обратная версия не совпадают (кроме случая с одной или двумя точками, что не применимо здесь). Таким образом, каждая уникальная ломаная линия была посчитана нами дважды в общем числе перестановок.
Чтобы найти количество различных ломаных, нужно общее число перестановок разделить на 2:
$N = \frac{10!}{2} = \frac{3 628 800}{2} = 1 814 400$
Условие, что никакие три точки не лежат на одной прямой, гарантирует, что любая последовательность вершин действительно образует ломаную линию, а не частично или полностью прямую.
Ответ: $1 814 400$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 14.14 расположенного на странице 125 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №14.14 (с. 125), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.