Номер 14.14, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 14. Перестановки. Размещения. Упражнения - номер 14.14, страница 125.

Учебник.

14.14. На плоскости отметили 10 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько различных незамкнутых ломаных с вершинами в данных точках можно построить, если ломаная должна проходить через каждую из десяти точек по одному разу?

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы построить незамкнутую ломаную, проходящую через каждую из 10 точек по одному разу, нам нужно выбрать порядок, в котором эти точки будут соединены. По сути, каждая такая ломаная представляет собой упорядоченную последовательность всех 10 точек.

Задача сводится к нахождению количества различных способов упорядочить 10 точек. Это является классической задачей комбинаторики на нахождение числа перестановок.

Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$. В данном случае у нас 10 точек, то есть $n=10$.

Количество всех возможных последовательностей из 10 точек равно:

$P_{10} = 10! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 = 3 628 800$

Однако, ломаная как геометрический объект не имеет направления. Это означает, что ломаная, построенная по последовательности точек $A_1, A_2, \dots, A_{10}$, является той же самой ломаной, что и построенная по обратной последовательности $A_{10}, A_9, \dots, A_1$. Например, ломаная, соединяющая точки в порядке А-В-С, и ломаная С-В-А — это один и тот же набор отрезков.

Поскольку ломаная незамкнута, любая последовательность и ее обратная версия не совпадают (кроме случая с одной или двумя точками, что не применимо здесь). Таким образом, каждая уникальная ломаная линия была посчитана нами дважды в общем числе перестановок.

Чтобы найти количество различных ломаных, нужно общее число перестановок разделить на 2:

$N = \frac{10!}{2} = \frac{3 628 800}{2} = 1 814 400$

Условие, что никакие три точки не лежат на одной прямой, гарантирует, что любая последовательность вершин действительно образует ломаную линию, а не частично или полностью прямую.

Ответ: $1 814 400$.