Номер 14.10, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 14. Перестановки. Размещения. Упражнения - номер 14.10, страница 124.

Учебник.

14.10. Докажите, что $A_n^{n-1} = P_n$, где $n \in N, n > 1$.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства равенства $A_{n}^{n-1} = P_n$ воспользуемся определениями и формулами для числа размещений и числа перестановок.

1. Алгебраическое доказательство (с использованием формул)

Число размещений из $n$ элементов по $k$, обозначаемое $A_n^k$, вычисляется по формуле:$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В левой части доказываемого равенства стоит $A_{n}^{n-1}$. В данном случае $k = n-1$. Подставим это значение в формулу для числа размещений:

$A_{n}^{n-1} = \frac{n!}{(n-(n-1))!}$

Упростим выражение в знаменателе:

$(n-(n-1))! = (n-n+1)! = 1!$

Так как $1! = 1$, получаем:

$A_{n}^{n-1} = \frac{n!}{1!} = \frac{n!}{1} = n!$

Теперь рассмотрим правую часть равенства, $P_n$.Число перестановок $n$ элементов, обозначаемое $P_n$, по определению равно $n!$:

$P_n = n!$

Сравнивая левую и правую части, мы видим, что обе они равны $n!$:

$A_{n}^{n-1} = n!$

$P_n = n!$

Следовательно, $A_{n}^{n-1} = P_n$, что и требовалось доказать.

2. Комбинаторное доказательство (с использованием логических рассуждений)

Рассмотрим комбинаторный смысл обеих частей равенства.

$P_n$ — это число перестановок $n$ различных элементов. Иными словами, это количество способов, которыми можно упорядочить (расставить в ряд) все $n$ элементов. По определению, это число равно $n!$.

$A_{n}^{n-1}$ — это число размещений из $n$ элементов по $n-1$. По определению, это количество способов, которыми можно выбрать $n-1$ элемент из $n$ имеющихся и упорядочить их.

Давайте посчитаем это количество другим способом. Процесс создания упорядоченной последовательности из $n-1$ элемента можно разбить на два последовательных шага:

Шаг 1: Выбрать один элемент из $n$, который *не* будет включен в последовательность. Существует $n$ способов сделать такой выбор.

Шаг 2: Оставшиеся $n-1$ элементов нужно расположить в определенном порядке. Число способов упорядочить $n-1$ элемент — это число перестановок из $n-1$ элемента, то есть $P_{n-1} = (n-1)!$.

По правилу произведения в комбинаторике, общее число способов выполнить оба шага равно произведению числа способов на каждом шаге:

$A_{n}^{n-1} = n \times (n-1)!$

По определению факториала, $n \times (n-1)! = n!$.

Таким образом, мы снова получили, что $A_{n}^{n-1} = n!$.

Так как $P_n = n!$ и $A_{n}^{n-1} = n!$, равенство $A_{n}^{n-1} = P_n$ является верным.

Ответ: Равенство $A_{n}^{n-1} = P_n$ доказано двумя способами: алгебраическим, путем подстановки в формулы, и комбинаторным, через подсчет количества способов. Оба способа приводят к результату, что левая и правая части равенства равны $n!$.