Номер 14.13, страница 125 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 14. Перестановки. Размещения. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 14.13, страница 125.

14.13. Сколькими способами в таблице размером $n \times n$ можно выбрать $n$ клеточек так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце была одна выбранная клеточка?

14.13. Рассмотрим таблицу размером $n \times n$. Нам нужно выбрать $n$ клеточек так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце была ровно одна выбранная клеточка.

Будем делать выбор последовательно по строкам.

1. В первой строке мы можем выбрать любую из $n$ клеточек (столбцов). Таким образом, у нас есть $n$ способов выбора.

2. Перейдем ко второй строке. Согласно условию, в каждом столбце должна быть только одна выбранная клеточка. Так как в первой строке мы уже заняли один столбец, для второй строки остается $n-1$ свободных столбцов. Следовательно, у нас есть $n-1$ способ выбрать клеточку во второй строке.

3. Для третьей строки уже будут заняты два столбца (выборами в первой и второй строках). Поэтому для выбора клеточки в третьей строке остается $n-2$ свободных столбца.

4. Продолжая этот процесс, для $k$-ой строки у нас будет $n-(k-1)$ вариантов выбора, так как $k-1$ столбцов уже будут заняты предыдущими $k-1$ строками.

5. Наконец, для последней, $n$-ой строки, все $n-1$ столбцов будут заняты предыдущими выборами, и останется только одна свободная клеточка в одном единственном столбце. Таким образом, у нас будет всего 1 способ выбора.

По правилу произведения в комбинаторике, общее число способов равно произведению числа способов на каждом шаге: $N = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$

Это произведение является определением факториала числа $n$ и обозначается как $n!$.

Таким образом, существует $n!$ способов выбрать $n$ клеток в таблице $n \times n$ с соблюдением заданных условий. Эта задача эквивалентна нахождению числа перестановок $n$ элементов.

Ответ: $n!$