Номер 14.8, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 14. Перестановки. Размещения. Упражнения - номер 14.8, страница 124.

Учебник.

14.8. Через железнодорожную станцию должны одновременно пройти 3 поезда. Сколькими способами диспетчер может организовать прохождение составов, если в его распоряжении 5 свободных путей?

Решение.

Решение 2.

В данной задаче требуется найти количество способов, которыми диспетчер может направить 3 поезда на 5 свободных путей. Поскольку все поезда различны и все пути тоже различны, а каждый поезд должен занять свой отдельный путь, мы имеем дело с задачей на нахождение числа размещений без повторений. Порядок важен, так как комбинация "Поезд 1 на Пути А, Поезд 2 на Пути Б" отличается от комбинации "Поезд 1 на Пути Б, Поезд 2 на Пути А".

Рассмотрим задачу пошагово:
• Для первого поезда диспетчер может выбрать любой из 5 свободных путей.
• После того, как один путь занят, для второго поезда остается $5 - 1 = 4$ свободных пути.
• Аналогично, для третьего поезда остается $5 - 2 = 3$ свободных пути.

Согласно комбинаторному правилу умножения, общее количество способов равно произведению числа вариантов для каждого поезда:
$N = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

Этот же результат можно получить с помощью формулы для числа размещений из $n$ элементов по $k$:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
В нашем случае, общее число доступных элементов (путей) $n = 5$, а число выбираемых элементов (поездов) $k = 3$.
Подставим эти значения в формулу:
$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

Таким образом, существует 60 способов организовать прохождение составов.

Ответ: 60.