Номер 14.5, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 14. Перестановки. Размещения. Упражнения - номер 14.5, страница 124.

Учебник.

14.5. В 10 классе изучают 16 предметов. Расписание содержит 6 уроков в один учебный день. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один учебный день так, чтобы все 6 уроков были разными?

Решение.

Решение 2.

14.5. Задача состоит в том, чтобы найти количество способов составить расписание на один учебный день из 6 уроков, при условии, что все уроки должны быть разными, а выбираются они из 16 доступных предметов.

Поскольку порядок уроков в расписании важен (например, если первым уроком стоит математика, а вторым — физика, это не то же самое, что наоборот), данная задача решается с помощью формулы для нахождения числа размещений без повторений.

Рассуждать можно последовательно, определяя количество вариантов для каждого урока в расписании:

• Для первого урока можно выбрать любой из 16 предметов.
• Так как все уроки должны быть разными, для второго урока остается $16 - 1 = 15$ предметов.
• Для третьего урока остается $15 - 1 = 14$ предметов.
• Для четвертого урока — 13 предметов.
• Для пятого урока — 12 предметов.
• Для шестого урока — 11 предметов.

Согласно основному правилу комбинаторики (правилу умножения), общее число способов составить такое расписание равно произведению числа вариантов для каждого урока:

$N = 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11$

Этот же результат можно получить, используя формулу для числа размещений из $n$ элементов по $k$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае общее число предметов $n = 16$, а количество уроков в расписании $k = 6$.

$A_{16}^6 = \frac{16!}{(16-6)!} = \frac{16!}{10!} = 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11$

Теперь вычислим значение этого выражения:

$16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 = 5\,765\,760$

Следовательно, существует 5 765 760 способов составить расписание уроков на один день.

Ответ: $5765760$.