Номер 5, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 14. Перестановки. Размещения. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 5, страница 124.

5. Что называют размещением из $n$ элементов по $k$ элементов?

Размещением из $n$ элементов по $k$ элементов в комбинаторике называют любой упорядоченный набор (или кортеж) длины $k$, составленный из элементов данного $n$-элементного множества, причём все элементы в наборе должны быть различны.

Другими словами, мы выбираем $k$ элементов из $n$ и располагаем их в определённом порядке. Два размещения считаются разными, если они либо отличаются составом элементов, либо состоят из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке. Это ключевое отличие размещений от сочетаний, где порядок элементов не важен.

Число всех возможных размещений из $n$ по $k$ обозначается символом $A_n^k$ (от французского arrangement — размещение, приведение в порядок) и вычисляется по следующей формуле:
$A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot (n-k+1)$
Эта формула получается из правила произведения: для выбора первого элемента у нас есть $n$ вариантов, для второго — $(n-1)$ вариант (так как один элемент уже выбран), для третьего — $(n-2)$ и так далее, до $k$-го элемента, для которого остаётся $(n-k+1)$ вариант.

Используя факториалы, эту формулу можно записать в более компактном виде:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$
где $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ (факториал числа $n$), и по определению $0! = 1$. Формула имеет смысл при $n \ge k \ge 0$.

Пример.
Рассмотрим множество из 4-х букв: {A, B, C, D}. Найдём число размещений из 4 элементов по 2.
Здесь $n=4$, $k=2$.
Нам нужно составить все упорядоченные пары из этих букв. Перечислим их:
(A, B), (B, A), (A, C), (C, A), (A, D), (D, A),
(B, C), (C, B), (B, D), (D, B), (C, D), (D, C).
Всего получилось 12 различных размещений.
Проверим по формуле: $A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$.

Ответ: Размещением из $n$ элементов по $k$ называется любой упорядоченный набор из $k$ различных элементов, выбранных из исходного множества, содержащего $n$ элементов. Число таких размещений обозначается $A_n^k$ и вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.