Номер 13.12, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Готовимся к изучению новой темы. § 13. Метод математической индукции. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 13.12, страница 120.

13.12. Сколько существует четырёхзначных чисел, все цифры которых нечётные?

Для решения этой задачи необходимо определить количество возможных вариантов для каждой из четырёх цифр четырёхзначного числа, учитывая, что все они должны быть нечётными.

1. Определим набор нечётных цифр.
Нечётными цифрами являются: 1, 3, 5, 7, 9. Всего 5 нечётных цифр.

2. Рассмотрим каждую позицию в четырёхзначном числе.
Четырёхзначное число состоит из четырёх разрядов: тысяч, сотен, десятков и единиц.

- Первая цифра (разряд тысяч): На этой позиции может стоять любая из нечётных цифр. Поскольку ни одна из них не равна нулю, все 5 цифр (1, 3, 5, 7, 9) могут быть первой цифрой числа. Таким образом, у нас есть 5 вариантов.

- Вторая цифра (разряд сотен): На этой позиции также может стоять любая из 5 нечётных цифр.

- Третья цифра (разряд десятков): Аналогично, на этой позиции может стоять любая из 5 нечётных цифр.

- Четвёртая цифра (разряд единиц): И на последней позиции может стоять любая из 5 нечётных цифр.

3. Рассчитаем общее количество комбинаций.
Поскольку выбор цифры для каждой позиции является независимым событием, общее количество возможных чисел находится путём перемножения количества вариантов для каждой позиции (по правилу произведения в комбинаторике).

Количество чисел = (варианты для 1-й цифры) × (варианты для 2-й цифры) × (варианты для 3-й цифры) × (варианты для 4-й цифры).

$5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 = 625$

Следовательно, существует 625 четырёхзначных чисел, все цифры которых нечётные.

Ответ: 625