Номер 1, страница 124 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 14. Перестановки. Размещения. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 1, страница 124.

1. Опишите, какое множество называют упорядоченным.

1. Упорядоченным (или, более строго, частично упорядоченным) множеством называется множество $M$, на котором задано бинарное отношение порядка (обычно обозначаемое символом $≤$), удовлетворяющее для любых элементов $a, b, c \in M$ трем аксиомам:

1. Рефлексивность: $a ≤ a$.
Каждый элемент находится в отношении сам с собой.

2. Антисимметричность: если $a ≤ b$ и $b ≤ a$, то $a = b$.
Если два элемента взаимно сравнимы в обе стороны, то они равны.

3. Транзитивность: если $a ≤ b$ и $b ≤ c$, то $a ≤ c$.
Отношение порядка переносится по цепочке.

Пара $(M, ≤)$ называется частично упорядоченным множеством (ЧУМ). В таком множестве не все элементы обязаны быть сравнимы между собой. Например, множество всех подмножеств множества $\{1, 2\}$, то есть $\{∅, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}$, упорядоченное по отношению включения $⊆$, является частично упорядоченным. Здесь $\{1\} ⊆ \{1, 2\}$ и $\{2\} ⊆ \{1, 2\}$, но элементы $\{1\}$ и $\{2\}$ несравнимы.

Если же к трем перечисленным аксиомам добавляется четвертая, то множество называют линейно упорядоченным (или просто упорядоченным в более узком смысле).

4. Свойство линейности (или полноты): для любых двух элементов $a, b \in M$ выполняется либо $a ≤ b$, либо $b ≤ a$.
Любые два элемента множества сравнимы между собой.

Классическим примером линейно упорядоченного множества является множество натуральных чисел $ℕ = \{1, 2, 3, ...\}$ со стандартным отношением "меньше или равно" ($≤$). Любые два натуральных числа можно сравнить между собой.

Ответ: Упорядоченное множество — это множество, для элементов которого введено отношение порядка (например, «меньше или равно»), обладающее свойствами рефлексивности ($a ≤ a$), антисимметричности (если $a ≤ b$ и $b ≤ a$, то $a=b$) и транзитивности (если $a ≤ b$ и $b ≤ c$, то $a ≤ c$). Если дополнительно любые два элемента множества сравнимы между собой, то множество называется линейно упорядоченным.