Номер 13.9, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона. Параграф 13. Метод математической индукции. Упражнения - номер 13.9, страница 120.

Учебник.

13.9. Докажите, что для любого натурального $n$:

1) $(3^{2n+1} + 2^{2n+2}) : 7$;

2) $(6^{2n} + 19^n - 2^{n+1}) : 17$.

Решение.

Решение 2.

1) Докажем, что выражение $(3^{2n+1} + 2^{n+2})$ делится на 7 для любого натурального $n$.

Мы докажем это утверждение, используя свойства сравнений по модулю. Нам необходимо показать, что $3^{2n+1} + 2^{n+2} \equiv 0 \pmod{7}$.

Сначала преобразуем данное выражение:

$3^{2n+1} + 2^{n+2} = 3^{2n} \cdot 3^1 + 2^n \cdot 2^2 = (3^2)^n \cdot 3 + 2^n \cdot 4 = 9^n \cdot 3 + 4 \cdot 2^n$.

Теперь рассмотрим это выражение по модулю 7. Найдем остаток от деления 9 на 7:

$9 = 1 \cdot 7 + 2$, следовательно, $9 \equiv 2 \pmod{7}$.

Используя свойство сравнений, согласно которому если $a \equiv b \pmod{m}$, то $a^n \equiv b^n \pmod{m}$, получаем:

$9^n \equiv 2^n \pmod{7}$.

Подставим это сравнение в наше преобразованное выражение:

$9^n \cdot 3 + 4 \cdot 2^n \equiv 2^n \cdot 3 + 4 \cdot 2^n \pmod{7}$.

Вынесем $2^n$ за скобки:

$(3+4) \cdot 2^n \pmod{7}$

$\equiv 7 \cdot 2^n \pmod{7}$.

Поскольку $7 \equiv 0 \pmod{7}$, то и все произведение делится на 7:

$7 \cdot 2^n \equiv 0 \cdot 2^n \equiv 0 \pmod{7}$.

Таким образом, мы доказали, что $3^{2n+1} + 2^{n+2}$ делится на 7 без остатка для любого натурального числа $n$.

Ответ: Доказано.

2) Докажем, что выражение $(6^{2n} + 19^n - 2^{n+1})$ делится на 17 для любого натурального $n$.

Воспользуемся методом сравнения по модулю. Нам нужно доказать, что $6^{2n} + 19^n - 2^{n+1} \equiv 0 \pmod{17}$.

Преобразуем исходное выражение, приведя степени к общему показателю $n$ там, где это возможно:

$6^{2n} + 19^n - 2^{n+1} = (6^2)^n + 19^n - 2 \cdot 2^n = 36^n + 19^n - 2 \cdot 2^n$.

Теперь рассмотрим это выражение по модулю 17. Найдем остатки от деления оснований степеней на 17:

$36 = 2 \cdot 17 + 2 \implies 36 \equiv 2 \pmod{17}$.

$19 = 1 \cdot 17 + 2 \implies 19 \equiv 2 \pmod{17}$.

Подставим полученные сравнения в наше выражение:

$36^n + 19^n - 2 \cdot 2^n \equiv 2^n + 2^n - 2 \cdot 2^n \pmod{17}$.

Сгруппируем слагаемые с $2^n$:

$(1+1-2) \cdot 2^n \pmod{17}$

$\equiv 0 \cdot 2^n \pmod{17}$

$\equiv 0 \pmod{17}$.

Следовательно, выражение $6^{2n} + 19^n - 2^{n+1}$ делится на 17 без остатка для любого натурального числа $n$.

Ответ: Доказано.