Номер 13.9, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 13. Метод математической индукции. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 13.9, страница 120.
№13.9 (с. 120)
Учебник. №13.9 (с. 120)
скриншот условия

13.9. Докажите, что для любого натурального $n$:
1) $(3^{2n+1} + 2^{2n+2}) : 7$;
2) $(6^{2n} + 19^n - 2^{n+1}) : 17$.
Решение. №13.9 (с. 120)

Решение 2. №13.9 (с. 120)
1) Докажем, что выражение $(3^{2n+1} + 2^{n+2})$ делится на 7 для любого натурального $n$.
Мы докажем это утверждение, используя свойства сравнений по модулю. Нам необходимо показать, что $3^{2n+1} + 2^{n+2} \equiv 0 \pmod{7}$.
Сначала преобразуем данное выражение:
$3^{2n+1} + 2^{n+2} = 3^{2n} \cdot 3^1 + 2^n \cdot 2^2 = (3^2)^n \cdot 3 + 2^n \cdot 4 = 9^n \cdot 3 + 4 \cdot 2^n$.
Теперь рассмотрим это выражение по модулю 7. Найдем остаток от деления 9 на 7:
$9 = 1 \cdot 7 + 2$, следовательно, $9 \equiv 2 \pmod{7}$.
Используя свойство сравнений, согласно которому если $a \equiv b \pmod{m}$, то $a^n \equiv b^n \pmod{m}$, получаем:
$9^n \equiv 2^n \pmod{7}$.
Подставим это сравнение в наше преобразованное выражение:
$9^n \cdot 3 + 4 \cdot 2^n \equiv 2^n \cdot 3 + 4 \cdot 2^n \pmod{7}$.
Вынесем $2^n$ за скобки:
$(3+4) \cdot 2^n \pmod{7}$
$\equiv 7 \cdot 2^n \pmod{7}$.
Поскольку $7 \equiv 0 \pmod{7}$, то и все произведение делится на 7:
$7 \cdot 2^n \equiv 0 \cdot 2^n \equiv 0 \pmod{7}$.
Таким образом, мы доказали, что $3^{2n+1} + 2^{n+2}$ делится на 7 без остатка для любого натурального числа $n$.
Ответ: Доказано.
2) Докажем, что выражение $(6^{2n} + 19^n - 2^{n+1})$ делится на 17 для любого натурального $n$.
Воспользуемся методом сравнения по модулю. Нам нужно доказать, что $6^{2n} + 19^n - 2^{n+1} \equiv 0 \pmod{17}$.
Преобразуем исходное выражение, приведя степени к общему показателю $n$ там, где это возможно:
$6^{2n} + 19^n - 2^{n+1} = (6^2)^n + 19^n - 2 \cdot 2^n = 36^n + 19^n - 2 \cdot 2^n$.
Теперь рассмотрим это выражение по модулю 17. Найдем остатки от деления оснований степеней на 17:
$36 = 2 \cdot 17 + 2 \implies 36 \equiv 2 \pmod{17}$.
$19 = 1 \cdot 17 + 2 \implies 19 \equiv 2 \pmod{17}$.
Подставим полученные сравнения в наше выражение:
$36^n + 19^n - 2 \cdot 2^n \equiv 2^n + 2^n - 2 \cdot 2^n \pmod{17}$.
Сгруппируем слагаемые с $2^n$:
$(1+1-2) \cdot 2^n \pmod{17}$
$\equiv 0 \cdot 2^n \pmod{17}$
$\equiv 0 \pmod{17}$.
Следовательно, выражение $6^{2n} + 19^n - 2^{n+1}$ делится на 17 без остатка для любого натурального числа $n$.
Ответ: Доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 13.9 расположенного на странице 120 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №13.9 (с. 120), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.