Номер 13.5, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 13. Метод математической индукции. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 13.5, страница 120.

13.5. Выведите формулу для вычисления суммы

$\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}$, где $n \in N$.

Обозначим искомую сумму через $S_n$.

$S_n = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

Общий член этой суммы имеет вид $a_k = \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ для $k=1, 2, \dots, n$.

Для нахождения суммы представим каждый член в виде разности двух дробей (метод разложения на простейшие дроби). Ищем коэффициенты $A$ и $B$ такие, что:

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{A}{2k-1} + \frac{B}{2k+1}$

Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем:

$1 = A(2k+1) + B(2k-1)$

Это тождество верно для любого значения $k$. Для нахождения коэффициентов подставим удобные значения $k$.

Пусть $k = \frac{1}{2}$. Тогда $2k-1=0$, и мы получаем:

$1 = A(2 \cdot \frac{1}{2} + 1) + B \cdot 0 \implies 1 = A(1+1) \implies 1 = 2A \implies A = \frac{1}{2}$

Пусть $k = -\frac{1}{2}$. Тогда $2k+1=0$, и мы получаем:

$1 = A \cdot 0 + B(2 \cdot (-\frac{1}{2}) - 1) \implies 1 = B(-1-1) \implies 1 = -2B \implies B = -\frac{1}{2}$

Таким образом, мы разложили общий член суммы:

$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1/2}{2k-1} - \frac{1/2}{2k+1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)$

Теперь подставим это выражение обратно в сумму:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\right)$

Распишем слагаемые этой суммы:

$S_n = \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) \right]$

Видно, что все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются (такая сумма называется телескопической). Остаются только первое и последнее слагаемые в скобках:

$S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right)$

Упростим полученное выражение:

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{2n+1-1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{n}{2n+1}$

Таким образом, мы вывели формулу для вычисления данной суммы.

Ответ: $\frac{n}{2n+1}$