Номер 13.7, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 13. Метод математической индукции. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 13.7, страница 120.

13.7. Докажите неравенство $2^n > 2n+1$, где $n \in \mathbf{N}$, $n \ge 3$.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции

Проверим справедливость неравенства для наименьшего значения $n$ из заданного диапазона, то есть для $n=3$.

Подставим $n=3$ в неравенство $2^n > 2n + 1$:

$2^3 > 2 \cdot 3 + 1$

$8 > 6 + 1$

$8 > 7$

Неравенство верно. Таким образом, база индукции выполняется.

Шаг 2: Индукционный переход

Предположим, что неравенство верно для некоторого произвольного натурального числа $k$, где $k \ge 3$. Это наше индукционное предположение:

$2^k > 2k + 1$

Теперь докажем, что из этого предположения следует справедливость неравенства для $n = k+1$. То есть, нам нужно доказать, что:

$2^{k+1} > 2(k+1) + 1$

Начнем с преобразования левой части этого неравенства, используя свойства степеней:

$2^{k+1} = 2 \cdot 2^k$

Теперь воспользуемся индукционным предположением $2^k > 2k + 1$. Так как мы умножаем на положительное число 2, знак неравенства сохраняется:

$2 \cdot 2^k > 2 \cdot (2k + 1)$

Отсюда получаем:

$2^{k+1} > 4k + 2$

Мы хотим доказать, что $2^{k+1} > 2(k+1) + 1$, что эквивалентно $2^{k+1} > 2k + 3$.

У нас есть $2^{k+1} > 4k + 2$. Если мы докажем, что $4k + 2 > 2k + 3$, то по свойству транзитивности неравенств будет следовать и требуемое нам неравенство.

Проверим неравенство $4k + 2 > 2k + 3$:

$4k - 2k > 3 - 2$

$2k > 1$

$k > \frac{1}{2}$

Так как по условию $k \ge 3$, то неравенство $k > \frac{1}{2}$ является истинным.

Таким образом, мы установили следующую цепочку верных неравенств для $k \ge 3$:

$2^{k+1} > 4k + 2 > 2k + 3$

Следовательно, $2^{k+1} > 2k + 3$, что и требовалось доказать.

Поскольку база индукции верна и индукционный переход доказан, утверждение $2^n > 2n + 1$ справедливо для всех натуральных чисел $n \ge 3$.

Ответ: Неравенство $2^n > 2n + 1$ для всех $n \in \mathbb{N}, n \ge 3$ доказано методом математической индукции.