Номер 13.6, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 13. Метод математической индукции. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 13.6, страница 120.

13.6. Выведите формулу для вычисления суммы

$ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)} $, где $ n \in \mathbf{N} $.

Для того чтобы вывести формулу для данной суммы, мы воспользуемся методом, известным как телескопическое суммирование. Сначала представим общий член суммы $a_k = \frac{1}{k(k+1)}$ в виде разности двух дробей. Для этого разложим его на простейшие дроби.
Пусть $ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} $.
Приведем правую часть к общему знаменателю:
$ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{A(k+1) + B(k)}{k(k+1)} $.
Поскольку знаменатели равны, мы можем приравнять числители:
$ 1 = A(k+1) + B(k) $.
Это равенство должно выполняться для любого значения $k$. Найдем коэффициенты $A$ и $B$, подставив удобные значения $k$.
При $k=0$: $1 = A(0+1) + B \cdot 0 \implies A=1$.
При $k=-1$: $1 = A(-1+1) + B(-1) \implies 1 = -B \implies B=-1$.
Таким образом, мы получили, что каждый член суммы можно представить в виде:
$ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} $.

Теперь перепишем исходную сумму, используя это разложение для каждого слагаемого. Обозначим сумму через $S_n$:
$ S_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} $
$ S_n = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) $.

В полученной сумме все промежуточные члены взаимно уничтожаются. Член $-\frac{1}{2}$ из первой скобки сокращается с членом $+\frac{1}{2}$ из второй, член $-\frac{1}{3}$ из второй скобки сокращается с членом $+\frac{1}{3}$ из третьей, и так далее.
$ S_n = \frac{1}{1} \underbrace{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}_{0} \underbrace{- \frac{1}{3} + \frac{1}{3}}_{0} - \dots \underbrace{- \frac{1}{n} + \frac{1}{n}}_{0} - \frac{1}{n+1} $
В результате остаются только первый член из первой скобки и последний член из последней скобки:
$ S_n = \frac{1}{1} - \frac{1}{n+1} $.
Упростим это выражение, приведя его к общему знаменателю:
$ S_n = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1}{n+1} - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1} $.
Таким образом, мы вывели искомую формулу.
Ответ: $ \frac{n}{n+1} $