Номер 13.4, страница 120 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 13. Метод математической индукции. Глава 3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона - номер 13.4, страница 120.

13.4. Докажите, что при любом натуральном n выполняется равенство:

1) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$;

2) $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + n(3n + 1) = n(n + 1)^2$;

3) $1^3 + 3^3 + 5^3 + \dots + (2n - 1)^3 = n^2(2n^2 - 1).$

1) Докажем данное равенство $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n + 1) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$ методом математической индукции.

База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.
Левая часть: $1 \cdot (1 + 1) = 1 \cdot 2 = 2$.
Правая часть: $\frac{1(1 + 1)(1 + 2)}{3} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3} = 2$.
Левая часть равна правой, следовательно, утверждение верно для $n=1$.

Индукционный переход: Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть:
$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k + 1) = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3}$.

Докажем, что равенство верно и для $n = k+1$. Нам нужно доказать:
$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k + 1) + (k+1)(k+2) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$. Используя предположение индукции, заменим сумму первых $k$ слагаемых:
$\underbrace{1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \dots + k(k + 1)}_{(k(k+1)(k+2))/3} + (k+1)(k+2) = \frac{k(k + 1)(k + 2)}{3} + (k+1)(k+2)$.

Приведем выражение к общему знаменателю и вынесем общий множитель $(k+1)(k+2)$ за скобки:
$\frac{k(k+1)(k+2)}{3} + \frac{3(k+1)(k+2)}{3} = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$.

Полученное выражение совпадает с правой частью доказываемого равенства для $n=k+1$.
Таким образом, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Равенство доказано.

2) Докажем данное равенство $1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 10 + \dots + n(3n + 1) = n(n + 1)^2$ методом математической индукции.

База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.
Левая часть: $1 \cdot (3 \cdot 1 + 1) = 1 \cdot 4 = 4$.
Правая часть: $1 \cdot (1 + 1)^2 = 1 \cdot 2^2 = 4$.
Левая часть равна правой, следовательно, утверждение верно для $n=1$.

Индукционный переход: Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть:
$1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + \dots + k(3k + 1) = k(k + 1)^2$.

Докажем, что равенство верно и для $n = k+1$. Нам нужно доказать:
$1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + \dots + (k+1)(3(k+1) + 1) = (k+1)((k+1) + 1)^2 = (k+1)(k+2)^2$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$. Следующий член суммы равен $(k+1)(3k+3+1) = (k+1)(3k+4)$. Используя предположение индукции, заменяем сумму первых $k$ слагаемых:
$\underbrace{1 \cdot 4 + 2 \cdot 7 + \dots + k(3k + 1)}_{k(k+1)^2} + (k+1)(3k+4) = k(k+1)^2 + (k+1)(3k+4)$.

Вынесем общий множитель $(k+1)$ за скобки:
$(k+1)[k(k+1) + (3k+4)] = (k+1)[k^2 + k + 3k + 4] = (k+1)(k^2 + 4k + 4)$.

Выражение в скобках является полным квадратом: $k^2+4k+4 = (k+2)^2$.
Таким образом, левая часть равна $(k+1)(k+2)^2$, что совпадает с правой частью доказываемого равенства для $n=k+1$.
Следовательно, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Равенство доказано.

3) Докажем данное равенство $1^3 + 3^3 + 5^3 + \dots + (2n - 1)^3 = n^2(2n^2 - 1)$ методом математической индукции.

База индукции: Проверим утверждение для $n=1$.
Левая часть: $(2 \cdot 1 - 1)^3 = 1^3 = 1$.
Правая часть: $1^2(2 \cdot 1^2 - 1) = 1 \cdot (2 - 1) = 1$.
Левая часть равна правой, следовательно, утверждение верно для $n=1$.

Индукционный переход: Предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть:
$1^3 + 3^3 + 5^3 + \dots + (2k - 1)^3 = k^2(2k^2 - 1)$.

Докажем, что равенство верно и для $n = k+1$. Следующий член суммы - это куб $(k+1)$-го нечетного числа, то есть $(2(k+1)-1)^3 = (2k+1)^3$. Нам нужно доказать:
$1^3 + \dots + (2k - 1)^3 + (2k+1)^3 = (k+1)^2(2(k+1)^2 - 1)$.

Рассмотрим левую часть равенства для $n=k+1$. Используя предположение индукции, заменяем сумму первых $k$ слагаемых:
$\underbrace{1^3 + 3^3 + \dots + (2k - 1)^3}_{k^2(2k^2-1)} + (2k+1)^3 = k^2(2k^2 - 1) + (2k+1)^3$.

Раскроем скобки и упростим выражение:
$k^2(2k^2 - 1) + (2k+1)^3 = 2k^4 - k^2 + (8k^3 + 12k^2 + 6k + 1) = 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1$.

Теперь преобразуем правую часть доказываемого равенства для $n=k+1$:
$(k+1)^2(2(k+1)^2 - 1) = (k^2+2k+1)(2(k^2+2k+1) - 1) = (k^2+2k+1)(2k^2+4k+2 - 1) = (k^2+2k+1)(2k^2+4k+1)$.

Раскроем скобки в полученном выражении:
$k^2(2k^2+4k+1) + 2k(2k^2+4k+1) + 1(2k^2+4k+1) = (2k^4+4k^3+k^2) + (4k^3+8k^2+2k) + (2k^2+4k+1) = 2k^4 + 8k^3 + 11k^2 + 6k + 1$.

Так как левая и правая части равенства для $n=k+1$ оказались равны, индукционный переход доказан.
Следовательно, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Равенство доказано.