Номер 12.8, страница 108 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Готовимся к изучению новой темы. § 12. Вычисление объёмов тел. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 12.8, страница 108.

12.8. Опрошено 1000 человек, пользующихся компьютерами. Установлено, что 80% из них имеют навык работы с программой Word, 60% имеют навык работы с программой Excel, а 10% не умеют работать ни с программой Word, ни с программой Excel. Найдите вероятность того, что наугад выбранный человек (среди опрошенных) умеет пользоваться и программой Word, и программой Excel. Изменится ли ответ, если будет опрошено не 1000, а, например, 1200 человек и получатся такие же результаты опроса?

Найдите вероятность того, что наугад выбранный человек (среди опрошенных) умеет пользоваться и программой Word, и программой Excel.

Для решения задачи введем следующие обозначения для событий:

• Событие $W$ — случайно выбранный человек умеет работать с программой Word.
• Событие $E$ — случайно выбранный человек умеет работать с программой Excel.

Согласно условию, нам известны следующие вероятности, выраженные в долях от единицы:

• Вероятность того, что человек владеет навыком работы с Word: $P(W) = 80\% = 0.8$.
• Вероятность того, что человек владеет навыком работы с Excel: $P(E) = 60\% = 0.6$.
• Вероятность того, что человек не умеет работать ни с Word, ни с Excel: $P(\neg W \cap \neg E) = 10\% = 0.1$.

Событие «человек не умеет работать ни с Word, ни с Excel» является противоположным (дополнением) к событию «человек умеет работать хотя бы с одной из программ» (то есть с Word, или с Excel, или с обеими сразу). Вероятность объединения событий $W$ и $E$ обозначается как $P(W \cup E)$.

Связь между вероятностью события и его дополнением выражается формулой:

$P(\neg(W \cup E)) = 1 - P(W \cup E)$.

По правилам де Моргана, $\neg W \cap \neg E = \neg(W \cup E)$, следовательно:

$P(W \cup E) = 1 - P(\neg W \cap \neg E) = 1 - 0.1 = 0.9$.

Это означает, что 90% опрошенных владеют хотя бы одной из двух программ.

Для нахождения вероятности того, что человек умеет пользоваться обеими программами, то есть $P(W \cap E)$, воспользуемся формулой сложения вероятностей:

$P(W \cup E) = P(W) + P(E) - P(W \cap E)$.

Выразим из этой формулы искомую вероятность пересечения событий:

$P(W \cap E) = P(W) + P(E) - P(W \cup E)$.

Подставим известные значения:

$P(W \cap E) = 0.8 + 0.6 - 0.9 = 1.4 - 0.9 = 0.5$.

Ответ: Вероятность того, что случайно выбранный человек умеет пользоваться и программой Word, и программой Excel, равна 0.5.

Изменится ли ответ, если будет опрошено не 1000, а, например, 1200 человек и получатся такие же результаты опроса?

Ответ не изменится. Все вычисления в первой части задачи основаны на процентных соотношениях (относительных частотах), которые по условию остаются такими же. Вероятность события не зависит от общего числа участников эксперимента (в данном случае, опрошенных), если относительные частоты всех связанных событий сохраняются.

Проверим это расчетом для 1200 человек:

• Количество владеющих Word: $1200 \cdot 0.8 = 960$ человек.
• Количество владеющих Excel: $1200 \cdot 0.6 = 720$ человек.
• Количество не владеющих ни одной программой: $1200 \cdot 0.1 = 120$ человек.

Число людей, владеющих хотя бы одной программой:

$N(W \cup E) = 1200 - 120 = 1080$ человек.

Число людей, владеющих обеими программами, найдем по формуле включений-исключений для количеств:

$N(W \cap E) = N(W) + N(E) - N(W \cup E) = 960 + 720 - 1080 = 1680 - 1080 = 600$ человек.

Тогда искомая вероятность для выборки из 1200 человек будет:

$P(W \cap E) = \frac{N(W \cap E)}{N_{total}} = \frac{600}{1200} = 0.5$.

Результат остался прежним.

Ответ: Нет, ответ не изменится.