Страница 108 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.2. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = \sqrt{\cos x}, y = 0, x = -\frac{\pi}{4}, x = \frac{\pi}{4};$

2) $y = x - x^2, y = 0;$

3) $y = \sqrt{x}, y = 1, x = 2.$

Для нахождения объёма тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс (оси Ox) фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью Ox и прямыми $x = a$ и $x = b$, используется формула:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

1) $y = \sqrt{\cos x}, y = 0, x = -\frac{\pi}{4}, x = \frac{\pi}{4}$

В данном случае фигура ограничена функцией $f(x) = \sqrt{\cos x}$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{\pi}{4}$. Пределы интегрирования: $a = -\frac{\pi}{4}$, $b = \frac{\pi}{4}$.

Подставляем данные в формулу объёма тела вращения:

$V = \pi \int_{-\pi/4}^{\pi/4} (\sqrt{\cos x})^2 dx = \pi \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos x \, dx$

Вычислим полученный интеграл:

$V = \pi [\sin x]_{-\pi/4}^{\pi/4} = \pi \left(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$

Поскольку функция $\sin x$ является нечётной ($\sin(-x) = -\sin(x)$), а $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$V = \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) = \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi \left(2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi\sqrt{2}$

Ответ: $V = \pi\sqrt{2}$

2) $y = x - x^2, y = 0$

Фигура ограничена параболой $y = x - x^2$ и осью абсцисс ($y=0$). Сначала найдём пределы интегрирования, решив уравнение $y=0$ для данной функции:

$x - x^2 = 0$

$x(1 - x) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Это и будут наши пределы интегрирования: $a=0$, $b=1$.

Теперь применим формулу для объёма тела вращения с $f(x) = x - x^2$:

$V = \pi \int_{0}^{1} (x - x^2)^2 dx$

Раскроем квадрат разности под знаком интеграла:

$(x - x^2)^2 = x^2 - 2x^3 + x^4$

Интегрируем полученное выражение:

$V = \pi \int_{0}^{1} (x^2 - 2x^3 + x^4) dx = \pi \left[\frac{x^3}{3} - \frac{2x^4}{4} + \frac{x^5}{5}\right]_{0}^{1} = \pi \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{2} + \frac{x^5}{5}\right]_{0}^{1}$

Подставляем пределы интегрирования:

$V = \pi \left(\left(\frac{1^3}{3} - \frac{1^4}{2} + \frac{1^5}{5}\right) - \left(\frac{0^3}{3} - \frac{0^4}{2} + \frac{0^5}{5}\right)\right) = \pi \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5}\right)$

Приводим дроби к общему знаменателю 30:

$V = \pi \left(\frac{10}{30} - \frac{15}{30} + \frac{6}{30}\right) = \pi \left(\frac{10 - 15 + 6}{30}\right) = \frac{\pi}{30}$

Ответ: $V = \frac{\pi}{30}$

3) $y = \sqrt{x}, y = 1, x = 2$

В этом случае фигура ограничена кривой $y = \sqrt{x}$, горизонтальной прямой $y = 1$ и вертикальной прямой $x = 2$. Чтобы найти объём тела вращения такой фигуры, нужно из объёма тела, образованного вращением кривой $y_1 = \sqrt{x}$, вычесть объём тела, образованного вращением прямой $y_2 = 1$. Это так называемый метод колец (шайб). Формула для объёма:

$V = \pi \int_{a}^{b} ([f_1(x)]^2 - [f_2(x)]^2) dx$

где $f_1(x)$ — верхняя граница фигуры, а $f_2(x)$ — нижняя.

Найдём левую границу интегрирования, определив точку пересечения $y = \sqrt{x}$ и $y = 1$:

$\sqrt{x} = 1 \implies x = 1$

Правая граница задана условием: $x = 2$. Итак, пределы интегрирования от $a = 1$ до $b = 2$. В этом интервале $\sqrt{x} \ge 1$, значит $f_1(x) = \sqrt{x}$ и $f_2(x) = 1$.

Подставляем функции и пределы в формулу:

$V = \pi \int_{1}^{2} ((\sqrt{x})^2 - 1^2) dx = \pi \int_{1}^{2} (x - 1) dx$

Вычисляем интеграл:

$V = \pi \left[\frac{x^2}{2} - x\right]_{1}^{2} = \pi \left(\left(\frac{2^2}{2} - 2\right) - \left(\frac{1^2}{2} - 1\right)\right)$

$V = \pi \left((2 - 2) - \left(\frac{1}{2} - \frac{2}{2}\right)\right) = \pi \left(0 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = \frac{\pi}{2}$

Ответ: $V = \frac{\pi}{2}$

12.3. В шаре радиуса $R$ на расстоянии $\frac{R}{2}$ от центра шара проведена плоскость, которая разбивает шар на две части. Найдите объёмы этих частей.

Плоскость, проведенная на расстоянии $d = \frac{R}{2}$ от центра шара, делит его на две части, которые являются шаровыми сегментами. Чтобы найти их объемы, воспользуемся формулой для объема шарового сегмента.

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}\pi h^2 (3R - h)$, где $R$ — это радиус шара, а $h$ — высота сегмента.

Сначала найдем объем меньшего шарового сегмента. Его высота $h_1$ равна разности радиуса шара и расстояния от центра до секущей плоскости: $h_1 = R - d = R - \frac{R}{2} = \frac{R}{2}$

Подставим значение высоты $h_1$ в формулу объема, чтобы найти объем меньшей части $V_1$: $V_1 = \frac{1}{3}\pi (\frac{R}{2})^2 (3R - \frac{R}{2}) = \frac{1}{3}\pi \frac{R^2}{4} (\frac{6R - R}{2})$ $V_1 = \frac{\pi R^2}{12} \cdot \frac{5R}{2} = \frac{5\pi R^3}{24}$

Теперь найдем объем большей части шара ($V_2$). Его можно вычислить, отняв объем меньшей части от общего объема шара. Общий объем шара $V_{шара}$ вычисляется по формуле: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Объем большей части $V_2$ равен: $V_2 = V_{шара} - V_1 = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{5\pi R^3}{24}$

Приведем дроби к общему знаменателю 24: $V_2 = \frac{4 \cdot 8}{3 \cdot 8}\pi R^3 - \frac{5\pi R^3}{24} = \frac{32\pi R^3}{24} - \frac{5\pi R^3}{24} = \frac{(32-5)\pi R^3}{24} = \frac{27\pi R^3}{24}$

Сократим полученную дробь на 3: $V_2 = \frac{9\pi R^3}{8}$

Ответ: объемы частей шара равны $\frac{5\pi R^3}{24}$ и $\frac{9\pi R^3}{8}$.

12.4. Докажите, что объём шара радиуса $R$ равен $\frac{4}{3}\pi R^3$.

Для доказательства формулы объема шара воспользуемся методом интегрирования, рассматривая шар как тело вращения.

Шар радиуса $R$ с центром в начале координат можно представить как тело, образованное вращением кривой, заданной функцией $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ (верхняя полуокружность), вокруг оси абсцисс (Ox) в пределах от $-R$ до $R$.

Мысленно разобьем этот шар на множество тонких цилиндрических дисков, перпендикулярных оси Ox. Толщина каждого такого диска будет бесконечно малой величиной $dx$.

Радиус основания каждого диска, расположенного в точке с абсциссой $x$, равен значению функции $y$ в этой точке, то есть $r(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$.

Площадь основания (круга) такого диска вычисляется по формуле $S(x) = \pi [r(x)]^2$. Подставив наше выражение для радиуса, получим:

$S(x) = \pi (\sqrt{R^2 - x^2})^2 = \pi(R^2 - x^2)$

Объем элементарного диска $dV$ равен произведению площади его основания $S(x)$ на толщину $dx$:

$dV = S(x)dx = \pi(R^2 - x^2)dx$

Чтобы найти полный объем шара $V$, необходимо просуммировать объемы всех этих элементарных дисков от $x = -R$ до $x = R$. Эта операция суммирования выполняется с помощью определенного интеграла:

$V = \int_{-R}^{R} \pi(R^2 - x^2)dx$

Вынесем константу $\pi$ за знак интеграла и найдем первообразную для подынтегральной функции:

$V = \pi \int_{-R}^{R} (R^2 - x^2)dx = \pi \left[ R^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{-R}^{R}$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив пределы интегрирования:

$V = \pi \left( \left( R^2 \cdot R - \frac{R^3}{3} \right) - \left( R^2 \cdot (-R) - \frac{(-R)^3}{3} \right) \right)$

Упростим выражение в скобках:

$V = \pi \left( \left( R^3 - \frac{R^3}{3} \right) - \left( -R^3 + \frac{R^3}{3} \right) \right)$

$V = \pi \left( \frac{2R^3}{3} - \left( -\frac{2R^3}{3} \right) \right)$

$V = \pi \left( \frac{2R^3}{3} + \frac{2R^3}{3} \right)$

$V = \pi \left( \frac{4R^3}{3} \right)$

Окончательно получаем:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Доказано, что объём шара радиуса $R$ равен $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

12.5. Выведите формулу для вычисления объёма конуса.

12.5.

Формулу для вычисления объёма конуса можно вывести с помощью интегрального исчисления. Конус можно представить как тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Рассмотрим прямой круговой конус с высотой $H$ и радиусом основания $R$. Поместим его в декартову систему координат так, чтобы вершина конуса совпала с началом координат $(0, 0)$, а его ось симметрии — с осью $Ox$. В этом случае основание конуса будет располагаться в плоскости, перпендикулярной оси $Ox$ и проходящей через точку $x=H$.

Образующая конуса в плоскости $Oxy$ является отрезком прямой, который соединяет вершину $(0, 0)$ с точкой на окружности основания, например, с точкой $(H, R)$. Уравнение этой прямой имеет вид $y = kx$. Чтобы найти коэффициент $k$, подставим координаты точки $(H, R)$: $R = kH$, откуда $k = \frac{R}{H}$. Таким образом, уравнение образующей конуса: $y(x) = \frac{R}{H}x$.

Объём тела, полученного вращением графика функции $y = f(x)$ вокруг оси $Ox$ в пределах от $a$ до $b$, находится по формуле: $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$.

В нашем случае $f(x) = y(x) = \frac{R}{H}x$, а пределы интегрирования — от $x=0$ (вершина) до $x=H$ (основание).

Подставим эти значения в формулу объёма: $V = \pi \int_{0}^{H} \left(\frac{R}{H}x\right)^2 dx = \pi \int_{0}^{H} \frac{R^2}{H^2}x^2 dx$.

Поскольку множитель $\pi \frac{R^2}{H^2}$ является константой, его можно вынести за знак интеграла: $V = \pi \frac{R^2}{H^2} \int_{0}^{H} x^2 dx$.

Теперь найдём определённый интеграл. Первообразная для функции $x^2$ равна $\frac{x^3}{3}$. Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем: $V = \pi \frac{R^2}{H^2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{H} = \pi \frac{R^2}{H^2} \left( \frac{H^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \pi \frac{R^2}{H^2} \cdot \frac{H^3}{3}$.

Сократив $H^2$ в числителе и знаменателе, получим окончательную формулу для объёма конуса: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.

Эту формулу также можно выразить через площадь основания конуса $S_{осн} = \pi R^2$: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.

Ответ: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.

12.6. Коробка шоколадных конфет с орехами содержит 24 конфеты, среди которых 8 конфет с миндальным орехом, а остальные с орехом фундук. Из коробки берут наугад одну конфету. Какова вероятность того, что выбранная конфета будет:

1) с миндальным орехом;

2) с орехом фундук;

3) с орехом;

4) с грецким орехом?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов. Формула имеет вид: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число исходов, а $m$ — число благоприятствующих исходов.

В коробке находится $n = 24$ конфеты, это общее число возможных исходов при выборе одной конфеты.

Известно, что в коробке 8 конфет с миндальным орехом.

Найдем количество конфет с орехом фундук, вычтя из общего числа конфет количество конфет с миндалем:

$24 - 8 = 16$ конфет с орехом фундук.

1) с миндальным орехом

Событие A: "выбранная конфета будет с миндальным орехом".

Число благоприятствующих этому событию исходов $m_1$ равно количеству конфет с миндальным орехом, то есть $m_1 = 8$.

Общее число исходов $n = 24$.

Вероятность события A: $P_1 = \frac{m_1}{n} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) с орехом фундук

Событие B: "выбранная конфета будет с орехом фундук".

Число благоприятствующих этому событию исходов $m_2$ равно количеству конфет с орехом фундук, то есть $m_2 = 16$.

Общее число исходов $n = 24$.

Вероятность события B: $P_2 = \frac{m_2}{n} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

3) с орехом

Событие C: "выбранная конфета будет с орехом".

Согласно условию, все конфеты в коробке "с орехами" (миндаль или фундук). Таким образом, любая выбранная конфета будет с орехом. Это достоверное событие.

Число благоприятствующих исходов $m_3$ равно общему числу конфет, $m_3 = 24$.

Общее число исходов $n = 24$.

Вероятность события C: $P_3 = \frac{m_3}{n} = \frac{24}{24} = 1$.

Ответ: $1$.

4) с грецким орехом

Событие D: "выбранная конфета будет с грецким орехом".

По условию, в коробке есть конфеты только с миндальным орехом и с орехом фундук. Конфет с грецким орехом в коробке нет. Следовательно, это невозможное событие.

Число благоприятствующих этому событию исходов $m_4 = 0$.

Общее число исходов $n = 24$.

Вероятность события D: $P_4 = \frac{m_4}{n} = \frac{0}{24} = 0$.

Ответ: $0$.

12.7. В конструкторском бюро работает 100 человек. По итогам года 15 из них получили почётные грамоты, а 8 человек — ценные подарки, причём один человек получил и грамоту, и ценный подарок. Других поощрений не было. Найдите вероятность того, что наугад выбранный сотрудник конструкторского бюро:

1) получил почётную грамоту;

2) получил почётную грамоту и ценный подарок;

3) не получил ценного подарка;

4) был поощрён.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

В данном случае общее число исходов $n$ равно общему числу сотрудников конструкторского бюро, то есть $n = 100$.

1) получил почётную грамоту;

Пусть событие A заключается в том, что наугад выбранный сотрудник получил почётную грамоту. По условию, почётные грамоты получили 15 человек. Следовательно, число благоприятствующих исходов для этого события $m = 15$.

Вероятность этого события равна: $P(A) = \frac{15}{100} = 0,15$.

Ответ: 0,15.

2) получил почётную грамоту и ценный подарок;

Пусть событие B заключается в том, что наугад выбранный сотрудник получил и почётную грамоту, и ценный подарок. По условию, такой сотрудник был один. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m = 1$.

Вероятность этого события равна: $P(B) = \frac{1}{100} = 0,01$.

Ответ: 0,01.

3) не получил ценного подарка;

Пусть событие C заключается в том, что наугад выбранный сотрудник не получил ценного подарка. Ценные подарки получили 8 человек. Значит, не получили ценные подарки все остальные сотрудники. Их число $m$ можно найти, вычтя из общего числа сотрудников тех, кто получил подарок: $m = 100 - 8 = 92$.

Вероятность этого события равна: $P(C) = \frac{92}{100} = 0,92$.

Ответ: 0,92.

4) был поощрён.

Пусть событие D заключается в том, что наугад выбранный сотрудник был поощрён. Это означает, что он получил хотя бы одну награду: или почётную грамоту, или ценный подарок, или и то, и другое. Чтобы найти общее число поощрённых сотрудников ($m$), нужно сложить число получивших грамоты и число получивших подарки, а затем вычесть число тех, кто получил и то, и другое (поскольку они были посчитаны дважды).

Число поощрённых сотрудников $m$ равно: $m = (\text{число получивших грамоту}) + (\text{число получивших подарок}) - (\text{число получивших и то, и другое})$.

$m = 15 + 8 - 1 = 22$.

Вероятность этого события равна: $P(D) = \frac{22}{100} = 0,22$.

Ответ: 0,22.

12.8. Опрошено 1000 человек, пользующихся компьютерами. Установлено, что 80% из них имеют навык работы с программой Word, 60% имеют навык работы с программой Excel, а 10% не умеют работать ни с программой Word, ни с программой Excel. Найдите вероятность того, что наугад выбранный человек (среди опрошенных) умеет пользоваться и программой Word, и программой Excel. Изменится ли ответ, если будет опрошено не 1000, а, например, 1200 человек и получатся такие же результаты опроса?

Найдите вероятность того, что наугад выбранный человек (среди опрошенных) умеет пользоваться и программой Word, и программой Excel.

Для решения задачи введем следующие обозначения для событий:

• Событие $W$ — случайно выбранный человек умеет работать с программой Word.
• Событие $E$ — случайно выбранный человек умеет работать с программой Excel.

Согласно условию, нам известны следующие вероятности, выраженные в долях от единицы:

• Вероятность того, что человек владеет навыком работы с Word: $P(W) = 80\% = 0.8$.
• Вероятность того, что человек владеет навыком работы с Excel: $P(E) = 60\% = 0.6$.
• Вероятность того, что человек не умеет работать ни с Word, ни с Excel: $P(\neg W \cap \neg E) = 10\% = 0.1$.

Событие «человек не умеет работать ни с Word, ни с Excel» является противоположным (дополнением) к событию «человек умеет работать хотя бы с одной из программ» (то есть с Word, или с Excel, или с обеими сразу). Вероятность объединения событий $W$ и $E$ обозначается как $P(W \cup E)$.

Связь между вероятностью события и его дополнением выражается формулой:

$P(\neg(W \cup E)) = 1 - P(W \cup E)$.

По правилам де Моргана, $\neg W \cap \neg E = \neg(W \cup E)$, следовательно:

$P(W \cup E) = 1 - P(\neg W \cap \neg E) = 1 - 0.1 = 0.9$.

Это означает, что 90% опрошенных владеют хотя бы одной из двух программ.

Для нахождения вероятности того, что человек умеет пользоваться обеими программами, то есть $P(W \cap E)$, воспользуемся формулой сложения вероятностей:

$P(W \cup E) = P(W) + P(E) - P(W \cap E)$.

Выразим из этой формулы искомую вероятность пересечения событий:

$P(W \cap E) = P(W) + P(E) - P(W \cup E)$.

Подставим известные значения:

$P(W \cap E) = 0.8 + 0.6 - 0.9 = 1.4 - 0.9 = 0.5$.

Ответ: Вероятность того, что случайно выбранный человек умеет пользоваться и программой Word, и программой Excel, равна 0.5.

Изменится ли ответ, если будет опрошено не 1000, а, например, 1200 человек и получатся такие же результаты опроса?

Ответ не изменится. Все вычисления в первой части задачи основаны на процентных соотношениях (относительных частотах), которые по условию остаются такими же. Вероятность события не зависит от общего числа участников эксперимента (в данном случае, опрошенных), если относительные частоты всех связанных событий сохраняются.

Проверим это расчетом для 1200 человек:

• Количество владеющих Word: $1200 \cdot 0.8 = 960$ человек.
• Количество владеющих Excel: $1200 \cdot 0.6 = 720$ человек.
• Количество не владеющих ни одной программой: $1200 \cdot 0.1 = 120$ человек.

Число людей, владеющих хотя бы одной программой:

$N(W \cup E) = 1200 - 120 = 1080$ человек.

Число людей, владеющих обеими программами, найдем по формуле включений-исключений для количеств:

$N(W \cap E) = N(W) + N(E) - N(W \cup E) = 960 + 720 - 1080 = 1680 - 1080 = 600$ человек.

Тогда искомая вероятность для выборки из 1200 человек будет:

$P(W \cap E) = \frac{N(W \cap E)}{N_{total}} = \frac{600}{1200} = 0.5$.

Результат остался прежним.

Ответ: Нет, ответ не изменится.