Страница 104 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.23. Решите неравенство $ \log_{\frac{1}{6}}(1-x) < \log_{\frac{1}{6}} 2. $

Для решения логарифмического неравенства $\log_{\frac{1}{6}}(1-x) < \log_{\frac{1}{6}}(2)$ необходимо сначала найти его область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным. Для выражения под знаком логарифма, содержащего переменную, должно выполняться условие:$1 - x > 0$

Решая это неравенство, переносим $x$ в правую часть:$1 > x$или$x < 1$

Таким образом, область допустимых значений для данного неравенства: $x \in (-\infty; 1)$.

Теперь перейдем к решению самого неравенства. Основание логарифма $a = \frac{1}{6}$. Так как основание удовлетворяет условию $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{6}}(t)$ является убывающей. Это означает, что при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства необходимо изменить на противоположный:$1 - x > 2$

Решим полученное линейное неравенство:$-x > 2 - 1$$-x > 1$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:$x < -1$

Итоговое решение должно удовлетворять одновременно двум условиям: входить в ОДЗ ($x < 1$) и быть решением самого неравенства ($x < -1$). Запишем это в виде системы:$\begin{cases} x < 1 \\ x < -1 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является множество $x < -1$. Если число меньше $-1$, оно автоматически будет меньше $1$.

Ответ: $(-\infty; -1)$

11.24. Упростите выражение $ \frac{\sin 5\alpha - \sin \alpha}{\cos 3\alpha} $.

Для упрощения данного выражения преобразуем числитель дроби, используя формулу разности синусов:

$ \sin x - \sin y = 2 \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) $

В нашем случае $x = 5\alpha$ и $y = \alpha$. Применим формулу:

$ \sin(5\alpha) - \sin(\alpha) = 2 \sin\left(\frac{5\alpha - \alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{5\alpha + \alpha}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{4\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{6\alpha}{2}\right) = 2 \sin(2\alpha) \cos(3\alpha) $

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$ \frac{\sin(5\alpha) - \sin(\alpha)}{\cos(3\alpha)} = \frac{2 \sin(2\alpha) \cos(3\alpha)}{\cos(3\alpha)} $

При условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $\cos(3\alpha) \neq 0$, мы можем сократить дробь на общий множитель $\cos(3\alpha)$:

$ \frac{2 \sin(2\alpha) \cos(3\alpha)}{\cos(3\alpha)} = 2 \sin(2\alpha) $

Ответ: $2 \sin(2\alpha)$

Рис. 11.14

11.25. На рисунке 11.14 изображён график функции $y = f(x)$. Пользуясь графиком, сравните $f'(x_1)$ и $f'(x_2)$.

11.23.

Данное неравенство является логарифмическим: $ \log_{\frac{1}{6}}(1 - x) < \log_{\frac{1}{6}} 2 $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$ 1 - x > 0 $

$ -x > -1 $

$ x < 1 $

Теперь решим само неравенство. Основание логарифма $ a = \frac{1}{6} $. Поскольку $ 0 < a < 1 $, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный.

$ 1 - x > 2 $

Решим полученное линейное неравенство:

$ -x > 2 - 1 $

$ -x > 1 $

$ x < -1 $

Теперь необходимо найти пересечение решения неравенства ($ x < -1 $) и ОДЗ ($ x < 1 $). Совмещая эти два условия, получаем, что $ x < -1 $.

Ответ: $ x \in (-\infty; -1) $.

11.24.

Для упрощения выражения $ \frac{\sin 5\alpha - \sin \alpha}{\cos 3\alpha} $ воспользуемся формулой разности синусов в числителе:

$ \sin A - \sin B = 2\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) $

Применим эту формулу, где $ A = 5\alpha $ и $ B = \alpha $:

$ \sin 5\alpha - \sin \alpha = 2\sin\left(\frac{5\alpha-\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{5\alpha+\alpha}{2}\right) = 2\sin\left(\frac{4\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{6\alpha}{2}\right) = 2\sin(2\alpha)\cos(3\alpha) $

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$ \frac{2\sin(2\alpha)\cos(3\alpha)}{\cos 3\alpha} $

При условии, что $ \cos 3\alpha \neq 0 $, мы можем сократить дробь на $ \cos 3\alpha $:

$ 2\sin(2\alpha) $

Ответ: $ 2\sin(2\alpha) $.

11.25.

Геометрический смысл производной функции $ f'(x) $ в точке — это тангенс угла наклона (или угловой коэффициент) касательной, проведенной к графику функции $ y = f(x) $ в этой точке.

Рассмотрим график функции $ y = f(x) $ на рисунке 11.14. Нам нужно сравнить значения производной в точках $ x_1 $ и $ x_2 $.

1. В точке $ x_1 $ функция возрастает. Если мы мысленно проведем касательную к графику в этой точке, она будет направлена вверх, следовательно, ее угловой коэффициент $ f'(x_1) $ будет положительным.

2. В точке $ x_2 $ функция также возрастает. Касательная в этой точке тоже будет направлена вверх, и ее угловой коэффициент $ f'(x_2) $ также будет положительным.

3. Сравним углы наклона касательных. Из графика видно, что в точке $ x_1 $ функция возрастает "круче", чем в точке $ x_2 $. Это означает, что касательная в точке $ x_1 $ имеет больший угол наклона к положительному направлению оси Ox, чем касательная в точке $ x_2 $.

Поскольку обе касательные образуют острые углы с осью Ox, и тангенс в первой четверти является возрастающей функцией, то большему углу наклона соответствует большее значение тангенса. Следовательно, угловой коэффициент касательной в точке $ x_1 $ больше, чем в точке $ x_2 $.

Таким образом, $ f'(x_1) > f'(x_2) $.

Также можно заметить, что на всем показанном участке график функции является выпуклым вверх (вогнутым). Для таких функций производная $ f'(x) $ является убывающей функцией. Поскольку $ x_1 < x_2 $, для убывающей функции $ f' $ выполняется неравенство $ f'(x_1) > f'(x_2) $.

Ответ: $ f'(x_1) > f'(x_2) $.