Номер 11.24, страница 104 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения. § 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 11.24, страница 104.

11.24. Упростите выражение $ \frac{\sin 5\alpha - \sin \alpha}{\cos 3\alpha} $.

Для упрощения данного выражения преобразуем числитель дроби, используя формулу разности синусов:

$ \sin x - \sin y = 2 \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) $

В нашем случае $x = 5\alpha$ и $y = \alpha$. Применим формулу:

$ \sin(5\alpha) - \sin(\alpha) = 2 \sin\left(\frac{5\alpha - \alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{5\alpha + \alpha}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{4\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{6\alpha}{2}\right) = 2 \sin(2\alpha) \cos(3\alpha) $

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$ \frac{\sin(5\alpha) - \sin(\alpha)}{\cos(3\alpha)} = \frac{2 \sin(2\alpha) \cos(3\alpha)}{\cos(3\alpha)} $

При условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $\cos(3\alpha) \neq 0$, мы можем сократить дробь на общий множитель $\cos(3\alpha)$:

$ \frac{2 \sin(2\alpha) \cos(3\alpha)}{\cos(3\alpha)} = 2 \sin(2\alpha) $

Ответ: $2 \sin(2\alpha)$