Номер 11.18, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 11.18, страница 103.
№11.18 (с. 103)
Учебник. №11.18 (с. 103)
скриншот условия

11.18. При каких значениях $a$ выполняется неравенство $\int_{\frac{1}{2}}^{a} \left( \frac{1}{x^2} + 1 \right) dx > 1,5$,
где $a > \frac{1}{2}$?
Решение. №11.18 (с. 103)

Решение 2. №11.18 (с. 103)
Для решения задачи сначала вычислим определенный интеграл в левой части неравенства. Первообразная для подынтегральной функции $f(x) = \frac{1}{x^2} + 1 = x^{-2} + 1$ находится по формуле интегрирования степенной функции:
$F(x) = \int (x^{-2} + 1)dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + x = -\frac{1}{x} + x$.
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:
$\int_{\frac{1}{2}}^{a} \left(\frac{1}{x^2} + 1\right) dx = \left. \left(-\frac{1}{x} + x\right) \right|_{\frac{1}{2}}^{a} = \left(-\frac{1}{a} + a\right) - \left(-\frac{1}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}\right) = \left(a - \frac{1}{a}\right) - \left(-2 + \frac{1}{2}\right) = a - \frac{1}{a} - \left(-\frac{3}{2}\right) = a - \frac{1}{a} + \frac{3}{2}$.
Подставим полученное выражение в исходное неравенство:
$a - \frac{1}{a} + \frac{3}{2} > 1,5$.
Так как $1,5 = \frac{3}{2}$, неравенство упрощается:
$a - \frac{1}{a} + \frac{3}{2} > \frac{3}{2}$
$a - \frac{1}{a} > 0$.
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{a^2 - 1}{a} > 0$.
По условию задачи $a > \frac{1}{2}$, следовательно, знаменатель $a$ всегда положителен. Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $a$, не меняя знака неравенства, что равносильно решению неравенства для числителя:
$a^2 - 1 > 0$.
Разложим левую часть на множители:
$(a - 1)(a + 1) > 0$.
Решением этого неравенства является объединение интервалов $a \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.
Теперь учтем исходное ограничение $a > \frac{1}{2}$. Найдем пересечение множества решений неравенства с этим ограничением:
$\left((-\infty, -1) \cup (1, \infty)\right) \cap \left(\frac{1}{2}, \infty\right)$.
Пересечением является интервал $(1, \infty)$.
Таким образом, неравенство выполняется при $a > 1$.
Ответ: $a > 1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 11.18 расположенного на странице 103 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №11.18 (с. 103), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.