Номер 11.18, страница 103 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 2. Интеграл и его применение. Параграф 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Упражнения - номер 11.18, страница 103.

Учебник.

11.18. При каких значениях $a$ выполняется неравенство $\int_{\frac{1}{2}}^{a} \left( \frac{1}{x^2} + 1 \right) dx > 1,5$,

где $a > \frac{1}{2}$?

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи сначала вычислим определенный интеграл в левой части неравенства. Первообразная для подынтегральной функции $f(x) = \frac{1}{x^2} + 1 = x^{-2} + 1$ находится по формуле интегрирования степенной функции:

$F(x) = \int (x^{-2} + 1)dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + x = -\frac{1}{x} + x$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла:

$\int_{\frac{1}{2}}^{a} \left(\frac{1}{x^2} + 1\right) dx = \left. \left(-\frac{1}{x} + x\right) \right|_{\frac{1}{2}}^{a} = \left(-\frac{1}{a} + a\right) - \left(-\frac{1}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}\right) = \left(a - \frac{1}{a}\right) - \left(-2 + \frac{1}{2}\right) = a - \frac{1}{a} - \left(-\frac{3}{2}\right) = a - \frac{1}{a} + \frac{3}{2}$.

Подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$a - \frac{1}{a} + \frac{3}{2} > 1,5$.

Так как $1,5 = \frac{3}{2}$, неравенство упрощается:

$a - \frac{1}{a} + \frac{3}{2} > \frac{3}{2}$

$a - \frac{1}{a} > 0$.

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{a^2 - 1}{a} > 0$.

По условию задачи $a > \frac{1}{2}$, следовательно, знаменатель $a$ всегда положителен. Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $a$, не меняя знака неравенства, что равносильно решению неравенства для числителя:

$a^2 - 1 > 0$.

Разложим левую часть на множители:

$(a - 1)(a + 1) > 0$.

Решением этого неравенства является объединение интервалов $a \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Теперь учтем исходное ограничение $a > \frac{1}{2}$. Найдем пересечение множества решений неравенства с этим ограничением:

$\left((-\infty, -1) \cup (1, \infty)\right) \cap \left(\frac{1}{2}, \infty\right)$.

Пересечением является интервал $(1, \infty)$.

Таким образом, неравенство выполняется при $a > 1$.

Ответ: $a > 1$.