Номер 11.16, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 11.16, страница 102.

11.16. При каком значении $a$ прямая $x = a$ разбивает фигуру, ограниченную графиком функции $y = -x^3$ и прямыми $y = 0, x = -2$, на две равновеликие фигуры?

Сначала найдем площадь фигуры, которую нужно разделить. Эта фигура ограничена графиком функции $y = -x^3$, прямой $y=0$ (ось абсцисс) и прямой $x = -2$. Чтобы определить пределы интегрирования по оси $x$, найдем точку пересечения графика $y = -x^3$ с осью $y = 0$:

$-x^3 = 0 \implies x = 0$.

Таким образом, фигура является криволинейной трапецией, расположенной в пределах от $x=-2$ до $x=0$. На этом интервале, $[-2, 0]$, функция $y = -x^3$ принимает неотрицательные значения (например, при $x=-1$, $y=-(-1)^3=1$), следовательно, ее график лежит выше оси абсцисс.

Площадь $S$ этой фигуры вычисляется как определенный интеграл:

$S = \int_{-2}^{0} (-x^3) \,dx$

Для вычисления интеграла найдем первообразную функции $f(x) = -x^3$. Первообразная равна $F(x) = -\frac{x^4}{4}$.

Теперь вычислим площадь по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = F(0) - F(-2) = \left(-\frac{0^4}{4}\right) - \left(-\frac{(-2)^4}{4}\right) = 0 - \left(-\frac{16}{4}\right) = 4$.

Прямая $x=a$ должна разделить эту фигуру на две равновеликие, то есть на две фигуры с равными площадями. Это означает, что площадь каждой из частей должна быть равна $S/2 = 4/2 = 2$.

Прямая $x=a$ находится между границами фигуры, то есть $-2 < a < 0$. Площадь части фигуры, ограниченной линиями от $x=-2$ до $x=a$, должна быть равна 2. Составим уравнение:

$\int_{-2}^{a} (-x^3) \,dx = 2$

Вычисляем левую часть уравнения:

$\left[-\frac{x^4}{4}\right]_{-2}^{a} = \left(-\frac{a^4}{4}\right) - \left(-\frac{(-2)^4}{4}\right) = -\frac{a^4}{4} - \left(-\frac{16}{4}\right) = -\frac{a^4}{4} + 4$.

Теперь решаем уравнение:

$-\frac{a^4}{4} + 4 = 2$

$-\frac{a^4}{4} = -2$

$a^4 = 8$

$a = \pm\sqrt[4]{8}$

Учитывая условие $-2 < a < 0$, выбираем отрицательное значение корня:

$a = -\sqrt[4]{8}$.

Проверим, что найденное значение $a$ удовлетворяет неравенству $-2 < a < 0$. Очевидно, что $-\sqrt[4]{8} < 0$. Сравним $a$ с $-2$. Неравенство $-\sqrt[4]{8} > -2$ эквивалентно $\sqrt[4]{8} < 2$. Возведя обе части в четвертую степень, получим $8 < 16$, что является верным неравенством. Следовательно, найденное значение $a$ подходит.

Ответ: $a = -\sqrt[4]{8}$.