Номер 11.13, страница 102 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 2. Интеграл и его применение. Параграф 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Упражнения - номер 11.13, страница 102.

Учебник.

11.13. При каких значениях $a$ площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$, $y = 0$, $x = a$, равна 9?

Решение.

Решение 2.

11.13.

Площадь фигуры, ограниченной линиями $y=x^2$, $y=0$ и $x=a$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Фигура ограничена параболой $y=x^2$, осью абсцисс $y=0$ (которую парабола пересекает в точке $x=0$), и вертикальной прямой $x=a$. Таким образом, пределы интегрирования — от 0 до $a$.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \left| \int_{0}^{a} x^2 \,dx \right|$

Использование модуля необходимо, так как площадь не может быть отрицательной, а параметр $a$ может быть как положительным, так и отрицательным. Если $a<0$, то интеграл от 0 до $a$ будет отрицательным, а площадь, как геометрическая величина, положительна.

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница. Первообразная для $f(x)=x^2$ есть $F(x) = \frac{x^3}{3}$.

$\int_{0}^{a} x^2 \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{a} = \frac{a^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{a^3}{3}$

Следовательно, площадь фигуры равна:

$S = \left| \frac{a^3}{3} \right|$

По условию задачи, площадь $S=9$. Составим и решим уравнение:

$\left| \frac{a^3}{3} \right| = 9$

Умножим обе части на 3:

$|a^3| = 27$

Это уравнение с модулем распадается на два случая:

1) $a^3 = 27$

$a = \sqrt[3]{27} = 3$

2) $a^3 = -27$

$a = \sqrt[3]{-27} = -3$

Таким образом, условию задачи удовлетворяют два значения параметра $a$.

Ответ: $a=3, a=-3$.