Номер 11.8, страница 101 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 11.8, страница 101.

11.8. Вычислите определённый интеграл:

1) $\int_1^3 (4x^3 - 4x + 3)dx;$

2) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos \frac{x}{3} dx;$

3) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{3dx}{\sin^2 2x};$

4) $\int_{-2}^1 (x - 3)^2 dx;$

5) $\int_{\frac{1}{5}}^1 (5x - 3)^5 dx;$

6) $\int_2^6 \frac{dx}{\sqrt{3x - 2}};$

7) $\int_{-1}^1 \frac{dx}{3 - 2x};$

8) $\int_0^{2\pi} (\sin \frac{x}{6} + \cos 5x) dx;$

9) $\int_0^{2\pi} \sin (\frac{\pi}{3} - 3x) dx;$

10) $\int_{-6}^0 e^{-\frac{x}{6}} dx;$

11) $\int_{-1}^{\frac{1}{2}} \frac{dx}{(4x + 1)^3};$

12) $\int_{12}^{116} \sqrt[3]{\frac{x}{4}} - 2 dx.$

1) Вычислим интеграл $\int_1^3 (4x^3 - 4x + 3)dx$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 4x^3 - 4x + 3$. Используя таблицу интегралов, получаем:

$F(x) = \int (4x^3 - 4x + 3)dx = 4\frac{x^4}{4} - 4\frac{x^2}{2} + 3x = x^4 - 2x^2 + 3x$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$:

$\int_1^3 (4x^3 - 4x + 3)dx = (3^4 - 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3) - (1^4 - 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1) = (81 - 18 + 9) - (1 - 2 + 3) = 72 - 2 = 70$.

Ответ: $70$.

2) Вычислим интеграл $\int_{\pi/2}^{3\pi/2} \cos\left(\frac{x}{3}\right)dx$.

Первообразная для $f(x) = \cos\left(\frac{x}{3}\right)$ находится по формуле $\int \cos(kx)dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$. В нашем случае $k = \frac{1}{3}$.

$F(x) = \int \cos\left(\frac{x}{3}\right)dx = \frac{1}{1/3}\sin\left(\frac{x}{3}\right) = 3\sin\left(\frac{x}{3}\right)$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\pi/2}^{3\pi/2} \cos\left(\frac{x}{3}\right)dx = 3\sin\left(\frac{3\pi/2}{3}\right) - 3\sin\left(\frac{\pi/2}{3}\right) = 3\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 3\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 3 \cdot 1 - 3 \cdot \frac{1}{2} = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

3) Вычислим интеграл $\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{3dx}{\sin^2(2x)}$.

Первообразная для $f(x) = \frac{3}{\sin^2(2x)}$ находится с использованием табличного интеграла $\int \frac{dx}{\sin^2(kx)} = -\frac{1}{k}\cot(kx) + C$. Здесь $k=2$.

$F(x) = \int \frac{3}{\sin^2(2x)}dx = 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\cot(2x)\right) = -\frac{3}{2}\cot(2x)$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{3dx}{\sin^2(2x)} = \left(-\frac{3}{2}\cot\left(2 \cdot \frac{\pi}{3}\right)\right) - \left(-\frac{3}{2}\cot\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right)\right) = -\frac{3}{2}\cot\left(\frac{2\pi}{3}\right) + \frac{3}{2}\cot\left(\frac{\pi}{3}\right)$.

Так как $\cot\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$, получаем:

$-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \frac{3}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{3}{2\sqrt{3}} + \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

4) Вычислим интеграл $\int_{-2}^1 (x-3)^2 dx$.

Для нахождения первообразной используем формулу $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a}\frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$. Здесь $a=1, b=-3, n=2$.

$F(x) = \int (x-3)^2 dx = \frac{(x-3)^{2+1}}{2+1} = \frac{(x-3)^3}{3}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-2}^1 (x-3)^2 dx = \frac{(1-3)^3}{3} - \frac{(-2-3)^3}{3} = \frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-5)^3}{3} = \frac{-8}{3} - \frac{-125}{3} = \frac{-8+125}{3} = \frac{117}{3} = 39$.

Ответ: $39$.

5) Вычислим интеграл $\int_{1/5}^1 (5x-3)^5 dx$.

Используем формулу $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a}\frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$. Здесь $a=5, b=-3, n=5$.

$F(x) = \int (5x-3)^5 dx = \frac{1}{5}\frac{(5x-3)^{5+1}}{5+1} = \frac{(5x-3)^6}{30}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1/5}^1 (5x-3)^5 dx = \frac{(5 \cdot 1 - 3)^6}{30} - \frac{(5 \cdot \frac{1}{5} - 3)^6}{30} = \frac{(2)^6}{30} - \frac{(1-3)^6}{30} = \frac{64}{30} - \frac{(-2)^6}{30} = \frac{64}{30} - \frac{64}{30} = 0$.

Ответ: $0$.

6) Вычислим интеграл $\int_2^6 \frac{dx}{\sqrt{3x-2}}$.

Перепишем подынтегральное выражение в виде $(3x-2)^{-1/2}$. Используем формулу для степенной функции.

$F(x) = \int (3x-2)^{-1/2} dx = \frac{1}{3}\frac{(3x-2)^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{1}{3}\frac{(3x-2)^{1/2}}{1/2} = \frac{2}{3}\sqrt{3x-2}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_2^6 (3x-2)^{-1/2} dx = \frac{2}{3}\sqrt{3 \cdot 6 - 2} - \frac{2}{3}\sqrt{3 \cdot 2 - 2} = \frac{2}{3}\sqrt{16} - \frac{2}{3}\sqrt{4} = \frac{2}{3} \cdot 4 - \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{8}{3} - \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

7) Вычислим интеграл $\int_{-1}^1 \frac{dx}{3-2x}$.

Первообразная находится с помощью формулы $\int \frac{dx}{ax+b} = \frac{1}{a}\ln|ax+b|+C$. Здесь $a=-2, b=3$.

$F(x) = \int \frac{dx}{3-2x} = \frac{1}{-2}\ln|3-2x| = -\frac{1}{2}\ln|3-2x|$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-1}^1 \frac{dx}{3-2x} = \left(-\frac{1}{2}\ln|3-2 \cdot 1|\right) - \left(-\frac{1}{2}\ln|3-2(-1)|\right) = -\frac{1}{2}\ln|1| - \left(-\frac{1}{2}\ln|5|\right) = 0 + \frac{1}{2}\ln(5) = \frac{\ln 5}{2}$.

Ответ: $\frac{\ln 5}{2}$.

8) Вычислим интеграл $\int_0^{2\pi} \left(\sin\left(\frac{x}{6}\right) + \cos(5x)\right)dx$.

Интеграл суммы равен сумме интегралов. Найдем первообразную для каждого слагаемого:

$F(x) = \int \left(\sin\left(\frac{x}{6}\right) + \cos(5x)\right)dx = \frac{1}{1/6}(-\cos\left(\frac{x}{6}\right)) + \frac{1}{5}\sin(5x) = -6\cos\left(\frac{x}{6}\right) + \frac{1}{5}\sin(5x)$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_0^{2\pi} \left(\sin\left(\frac{x}{6}\right) + \cos(5x)\right)dx = \left(-6\cos\left(\frac{2\pi}{6}\right) + \frac{1}{5}\sin(5 \cdot 2\pi)\right) - \left(-6\cos(0) + \frac{1}{5}\sin(0)\right)$.

$\left(-6\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{5}\sin(10\pi)\right) - (-6 \cdot 1 + 0) = \left(-6 \cdot \frac{1}{2} + 0\right) - (-6) = -3 + 6 = 3$.

Ответ: $3$.

9) Вычислим интеграл $\int_0^{2\pi} \sin\left(\frac{\pi}{3} - 3x\right)dx$.

Первообразная для $f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{3} - 3x\right)$ находится по формуле $\int \sin(kx+b)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx+b)+C$. Здесь $k=-3, b=\pi/3$.

$F(x) = \int \sin\left(\frac{\pi}{3} - 3x\right)dx = -\frac{1}{-3}\cos\left(\frac{\pi}{3} - 3x\right) = \frac{1}{3}\cos\left(\frac{\pi}{3} - 3x\right)$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_0^{2\pi} \sin\left(\frac{\pi}{3} - 3x\right)dx = \frac{1}{3}\cos\left(\frac{\pi}{3} - 3 \cdot 2\pi\right) - \frac{1}{3}\cos\left(\frac{\pi}{3} - 0\right) = \frac{1}{3}\cos\left(\frac{\pi}{3} - 6\pi\right) - \frac{1}{3}\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$.

Используя периодичность косинуса $\cos(y - 2k\pi) = \cos(y)$, получаем:

$\frac{1}{3}\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \frac{1}{3}\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0$.

Ответ: $0$.

10) Вычислим интеграл $\int_{-6}^0 e^{x/6} dx$.

Первообразная для $f(x) = e^{x/6}$ находится по формуле $\int e^{kx}dx = \frac{1}{k}e^{kx}+C$. Здесь $k=1/6$.

$F(x) = \int e^{x/6} dx = \frac{1}{1/6}e^{x/6} = 6e^{x/6}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-6}^0 e^{x/6} dx = 6e^{0/6} - 6e^{-6/6} = 6e^0 - 6e^{-1} = 6 \cdot 1 - 6 \cdot \frac{1}{e} = 6 - \frac{6}{e} = 6\left(1 - \frac{1}{e}\right)$.

Ответ: $6\left(1 - \frac{1}{e}\right)$.

11) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{1/2} \frac{dx}{(4x+1)^3}$.

Перепишем интеграл как $\int_{-1}^{1/2} (4x+1)^{-3} dx$. Используем формулу для степенной функции.

$F(x) = \int (4x+1)^{-3} dx = \frac{1}{4}\frac{(4x+1)^{-3+1}}{-3+1} = \frac{1}{4}\frac{(4x+1)^{-2}}{-2} = -\frac{1}{8(4x+1)^2}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-1}^{1/2} \frac{dx}{(4x+1)^3} = \left(-\frac{1}{8(4 \cdot \frac{1}{2} + 1)^2}\right) - \left(-\frac{1}{8(4(-1)+1)^2}\right) = \left(-\frac{1}{8(2+1)^2}\right) - \left(-\frac{1}{8(-3)^2}\right)$.

$-\frac{1}{8 \cdot 3^2} - \left(-\frac{1}{8 \cdot 9}\right) = -\frac{1}{72} + \frac{1}{72} = 0$.

Ответ: $0$.

12) Вычислим интеграл $\int_{12}^{116} \sqrt[3]{\frac{x}{4}-2} dx$.

Перепишем интеграл как $\int_{12}^{116} \left(\frac{x}{4}-2\right)^{1/3} dx$. Используем формулу для степенной функции.

$F(x) = \int \left(\frac{x}{4}-2\right)^{1/3} dx = \frac{1}{1/4} \frac{\left(\frac{x}{4}-2\right)^{1/3+1}}{1/3+1} = 4 \frac{\left(\frac{x}{4}-2\right)^{4/3}}{4/3} = 3\left(\frac{x}{4}-2\right)^{4/3}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{12}^{116} \left(\frac{x}{4}-2\right)^{1/3} dx = 3\left(\frac{116}{4}-2\right)^{4/3} - 3\left(\frac{12}{4}-2\right)^{4/3} = 3(29-2)^{4/3} - 3(3-2)^{4/3}$.

$3(27)^{4/3} - 3(1)^{4/3} = 3(\sqrt[3]{27})^4 - 3 \cdot 1 = 3(3^4) - 3 = 3 \cdot 81 - 3 = 243 - 3 = 240$.

Ответ: $240$.