Номер 11.2, страница 99 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 11.2, страница 99.

11.2. Найдите площадь криволинейной трапеции, изображённой на рисунке 11.12.

Рис. 11.12

a

$y = x^4$

б

$y = \sin x$

в

$y = 2^x$

г

$y = -2x - x^2$

д

$y = \frac{1}{x^3}$

е

$y = \frac{4}{x}$

а

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = x^4$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=-1$ и $x=0$, вычисляется с помощью определённого интеграла. Так как на отрезке $[-1, 0]$ функция $y = x^4$ неотрицательна, площадь $S$ равна:
$S = \int_{-1}^{0} x^4 \,dx$.
Первообразная для $f(x) = x^4$ есть $F(x) = \frac{x^5}{5}$.
Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:
$S = \left. \frac{x^5}{5} \right|_{-1}^{0} = F(0) - F(-1) = \frac{0^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} = 0 - (-\frac{1}{5}) = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

б

Фигура ограничена графиком функции $y = \sin x$ и осью абсцисс на отрезке от $x = 0$ до $x = \pi$. На этом отрезке функция $\sin x \ge 0$. Площадь $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{0}^{\pi} \sin x \,dx$.
Первообразная для функции $\sin x$ есть $F(x) = -\cos x$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \left. -\cos x \right|_{0}^{\pi} = F(\pi) - F(0) = (-\cos \pi) - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: $2$.

в

Фигура ограничена графиком функции $y = 2^x$, осью абсцисс и прямыми $x = 1$ и $x = 2$. Функция $y=2^x$ положительна при любых значениях $x$. Площадь $S$ равна:
$S = \int_{1}^{2} 2^x \,dx$.
Первообразная для показательной функции $a^x$ есть $F(x) = \frac{a^x}{\ln a}$. В данном случае $F(x) = \frac{2^x}{\ln 2}$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \left. \frac{2^x}{\ln 2} \right|_{1}^{2} = F(2) - F(1) = \frac{2^2}{\ln 2} - \frac{2^1}{\ln 2} = \frac{4 - 2}{\ln 2} = \frac{2}{\ln 2}$.

Ответ: $\frac{2}{\ln 2}$.

г

Фигура ограничена графиком функции $y = -2x - x^2$ и осью абсцисс на отрезке от $x = -2$ до $x = -1$. Корни уравнения $-2x - x^2 = 0$ это $x=0$ и $x=-2$. Так как это парабола с ветвями вниз, на интервале $(-2, 0)$ функция положительна. Следовательно, на отрезке $[-2, -1]$ функция неотрицательна.
Площадь $S$ равна:
$S = \int_{-2}^{-1} (-2x - x^2) \,dx$.
Первообразная для $-2x - x^2$ есть $F(x) = -x^2 - \frac{x^3}{3}$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \left. \left(-x^2 - \frac{x^3}{3}\right) \right|_{-2}^{-1} = F(-1) - F(-2) = \left(-(-1)^2 - \frac{(-1)^3}{3}\right) - \left(-(-2)^2 - \frac{(-2)^3}{3}\right) = \left(-1 + \frac{1}{3}\right) - \left(-4 + \frac{8}{3}\right) = -\frac{2}{3} - (-\frac{4}{3}) = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

д

Фигура ограничена графиком функции $y = \frac{1}{x^3}$, осью абсцисс и прямыми $x = 1$ и $x = 3$. На отрезке $[1, 3]$ функция положительна. Представим функцию в виде $y = x^{-3}$.
Площадь $S$ равна:
$S = \int_{1}^{3} x^{-3} \,dx$.
Первообразная для $x^{-3}$ есть $F(x) = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \left. \left(-\frac{1}{2x^2}\right) \right|_{1}^{3} = F(3) - F(1) = \left(-\frac{1}{2 \cdot 3^2}\right) - \left(-\frac{1}{2 \cdot 1^2}\right) = -\frac{1}{18} + \frac{1}{2} = \frac{-1+9}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{4}{9}$.

е

Фигура ограничена графиком функции $y = \frac{4}{x}$, осью абсцисс и прямыми $x = 1$ и $x = e$. На отрезке $[1, e]$ функция положительна.
Площадь $S$ равна:
$S = \int_{1}^{e} \frac{4}{x} \,dx$.
Первообразная для $\frac{4}{x}$ есть $F(x) = 4\ln|x|$. Так как $x > 0$ на отрезке $[1, e]$, используем $F(x) = 4\ln x$.
По формуле Ньютона-Лейбница:
$S = \left. 4\ln x \right|_{1}^{e} = F(e) - F(1) = 4\ln e - 4\ln 1 = 4 \cdot 1 - 4 \cdot 0 = 4$.

Ответ: $4$.