Номер 5, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 5, страница 98.

5. Запишите свойства определённого интеграла.

1. Линейность: Определённый интеграл обладает свойством линейности. Это означает, что интеграл от линейной комбинации функций равен линейной комбинации интегралов от этих функций. Для любых интегрируемых на отрезке $[a, b]$ функций $f(x)$ и $g(x)$ и любых констант $k_1, k_2$ справедливо: $\int_a^b (k_1 f(x) + k_2 g(x)) \,dx = k_1 \int_a^b f(x) \,dx + k_2 \int_a^b g(x) \,dx$.

Ответ: $\int_a^b (k_1 f(x) + k_2 g(x)) \,dx = k_1 \int_a^b f(x) \,dx + k_2 \int_a^b g(x) \,dx$.

2. Аддитивность по отрезку интегрирования: Если функция $f(x)$ интегрируема на отрезках $[a, c]$ и $[c, b]$, то она интегрируема и на их объединении $[a, b]$, причём интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям. Для любой точки $c \in [a, b]$: $\int_a^b f(x) \,dx = \int_a^c f(x) \,dx + \int_c^b f(x) \,dx$.

Ответ: $\int_a^b f(x) \,dx = \int_a^c f(x) \,dx + \int_c^b f(x) \,dx$.

3. Изменение знака при перестановке пределов интегрирования: При перестановке верхнего и нижнего пределов интегрирования значение определённого интеграла меняет свой знак на противоположный. $\int_a^b f(x) \,dx = - \int_b^a f(x) \,dx$.

Ответ: $\int_a^b f(x) \,dx = - \int_b^a f(x) \,dx$.

4. Интеграл с равными пределами интегрирования: Если верхний и нижний пределы интегрирования совпадают, то значение определённого интеграла равно нулю, так как длина отрезка интегрирования равна нулю. $\int_a^a f(x) \,dx = 0$.

Ответ: $\int_a^a f(x) \,dx = 0$.

5. Монотонность (сравнение интегралов): Если на отрезке интегрирования $[a, b]$, где $a < b$, одна функция $f(x)$ не превосходит другую функцию $g(x)$ (то есть $f(x) \le g(x)$ для всех $x \in [a, b]$), то и значение интеграла от $f(x)$ не будет превышать значения интеграла от $g(x)$. $\int_a^b f(x) \,dx \le \int_a^b g(x) \,dx$.

Ответ: Если $f(x) \le g(x)$ для $x \in [a, b]$ (где $a < b$), то $\int_a^b f(x) \,dx \le \int_a^b g(x) \,dx$.

6. Теорема о среднем значении: Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то на этом отрезке найдётся такая точка $c \in [a, b]$, что значение интеграла будет равно произведению значения функции в этой точке на длину отрезка интегрирования. $\int_a^b f(x) \,dx = f(c) \cdot (b-a)$. Величина $f(c)$ называется средним значением функции на отрезке.

Ответ: $\int_a^b f(x) \,dx = f(c) \cdot (b-a)$ для некоторого $c \in [a, b]$.

7. Оценка интеграла: Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ (где $a < b$) и её наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке равны $m$ и $M$ соответственно, то значение интеграла заключено в следующих границах: $m(b-a) \le \int_a^b f(x) \,dx \le M(b-a)$.

Ответ: $m(b-a) \le \int_a^b f(x) \,dx \le M(b-a)$.