Страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какую фигуру называют криволинейной трапецией?

1. Криволинейной трапецией называют плоскую фигуру в прямоугольной системе координат, ограниченную графиком непрерывной и неотрицательной функции $y = f(x)$ на отрезке $[a, b]$, двумя вертикальными прямыми $x = a$ и $x = b$, и отрезком оси абсцисс (прямой $y=0$).

Таким образом, границами криволинейной трапеции являются:
– верхняя граница: график функции $y = f(x)$, при условии, что $f(x) \geq 0$ для всех $x \in [a, b]$;
– нижняя граница: отрезок $[a, b]$ оси $Ox$;
– боковые границы: отрезки вертикальных прямых $x=a$ и $x=b$.

Понятие криволинейной трапеции является фундаментальным в интегральном исчислении, поскольку оно наглядно представляет геометрический смысл определённого интеграла. Площадь $S$ криволинейной трапеции, описанной выше, численно равна значению определённого интеграла от функции $f(x)$ по отрезку $[a, b]$:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

Ответ: Криволинейная трапеция — это фигура, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y=f(x)$, осью абсцисс, а также прямыми $x=a$ и $x=b$.

2. По какой формуле можно вычислить площадь криволинейной трапеции?

2.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. Эта формула является одним из ключевых положений математического анализа.

Сначала дадим определение. Криволинейная трапеция — это фигура на координатной плоскости, ограниченная:

• графиком непрерывной и неотрицательной ($f(x) \geq 0$) функции $y = f(x)$ на отрезке $[a, b]$,

• осью абсцисс ($y=0$),

• и двумя вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

Площадь $S$ такой фигуры по определению равна определенному интегралу от функции $f(x)$ по отрезку $[a, b]$:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

Для практического вычисления этого интеграла и, соответственно, площади, используется формула Ньютона-Лейбница:

$\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$

В этой формуле:

$F(x)$ — это первообразная для функции $f(x)$. Первообразной называют такую функцию, производная которой равна исходной функции, то есть $F'(x) = f(x)$.

$F(b)$ и $F(a)$ — это значения первообразной в конечной и начальной точках отрезка интегрирования (на границах трапеции).

Таким образом, алгоритм нахождения площади криволинейной трапеции состоит из следующих шагов:

1. Найти любую первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$.

2. Вычислить значения первообразной на концах отрезка: $F(b)$ и $F(a)$.

3. Найти разность этих значений $F(b) - F(a)$, которая и будет равна искомой площади.

Ответ: Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$ (при условии $f(x) \ge 0$ на отрезке $[a, b]$), осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — любая первообразная для функции $f(x)$.

3. Что называют определённым интегралом функции $f$ на промежутке $[a; b]$?

Определённый интеграл является одним из центральных понятий математического анализа. Его можно определить несколькими способами, наиболее распространённый из которых — через суммы Римана.

Определение через интегральные суммы (интеграл Римана)

Пусть функция $f(x)$ определена на замкнутом промежутке (отрезке) $[a, b]$.

1. Разбиение отрезка: Разобьём отрезок $[a, b]$ на $n$ произвольных частичных отрезков точками $a = x_0 < x_1 < \dots < x_{i-1} < x_i < \dots < x_n = b$. Длину каждого $i$-го частичного отрезка обозначим как $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$. Наибольшую из этих длин назовём рангом (или мелкостью) разбиения и обозначим $\lambda = \max_{1 \le i \le n} \Delta x_i$.
2. Выбор точек: В каждом частичном отрезке $[x_{i-1}, x_i]$ выберем произвольную точку $\xi_i$ (т.е. $x_{i-1} \le \xi_i \le x_i$).
3. Интегральная сумма: Составим произведение $f(\xi_i) \Delta x_i$. Геометрически это площадь прямоугольника с основанием $\Delta x_i$ и высотой $f(\xi_i)$. Сумма всех таких произведений называется интегральной суммой (или суммой Римана) для функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$:
   $S_n = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i = f(\xi_1)\Delta x_1 + f(\xi_2)\Delta x_2 + \dots + f(\xi_n)\Delta x_n$
4. Предел интегральной суммы: Определённым интегралом функции $f(x)$ на промежутке $[a, b]$ называется конечный предел её интегральной суммы, когда ранг разбиения $\lambda$ стремится к нулю. Этот предел не должен зависеть ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек $\xi_i$ в них.

Математически это записывается так:
$\int_{a}^{b} f(x) \,dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$

Здесь $\int$ — знак интеграла, числа $a$ и $b$ — нижний и верхний пределы интегрирования, $f(x)$ — подынтегральная функция, а $dx$ — элемент интегрирования (указывает переменную, по которой ведётся интегрирование). Если указанный предел существует, то функция $f(x)$ называется интегрируемой по Риману на отрезке $[a, b]$.

Геометрический смысл определённого интеграла

Если функция $f(x)$ непрерывна и неотрицательна ($f(x) \ge 0$) на отрезке $[a, b]$, то определённый интеграл $\int_{a}^{b} f(x) \,dx$ численно равен площади криволинейной трапеции — фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс $Ox$ и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

Если же функция $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ принимает значения разных знаков, то определённый интеграл выражает "алгебраическую" (или знаковую) площадь: разность между суммой площадей фигур, лежащих над осью $Ox$, и суммой площадей фигур, лежащих под осью $Ox$.

Связь с первообразной (Формула Ньютона-Лейбница)

Основной способ вычисления определённых интегралов на практике даёт формула Ньютона-Лейбница, которая связывает определённый интеграл с понятием первообразной. Если $F(x)$ является любой первообразной для непрерывной функции $f(x)$ (то есть $F'(x) = f(x)$), то:
$\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$

Эта формула является фундаментальной теоремой анализа.

Ответ: Определённым интегралом функции $f$ на промежутке $[a, b]$ называют число, равное пределу её интегральных сумм $\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$ при условии, что максимальная длина отрезка разбиения $\Delta x_i$ стремится к нулю. Геометрически для неотрицательной функции он представляет собой площадь фигуры под графиком функции, а практически вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница как разность значений первообразной на концах промежутка: $\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

4. Какое равенство называют формулой Ньютона – Лейбница?

Формулой Ньютона — Лейбница называют равенство, которое является основной теоремой математического анализа. Эта формула связывает понятие определённого интеграла с понятием первообразной и даёт основной метод для вычисления определённых интегралов.

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и $F(x)$ является одной из её первообразных на этом отрезке (то есть $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in [a, b]$), то определённый интеграл от функции $f(x)$ по отрезку $[a, b]$ вычисляется по следующей формуле:

$ \int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a) $

Рассмотрим компоненты этого равенства:

- Левая часть: $ \int_a^b f(x) \,dx $ — это определённый интеграл от функции $f(x)$ с нижним пределом $a$ и верхним пределом $b$. Геометрически, если $f(x) \ge 0$, этот интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс $Ox$ и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

- Правая часть: $F(b) - F(a)$ — это разность значений первообразной $F(x)$ на концах отрезка интегрирования. Эту разность также принято записывать в сокращённом виде как $F(x) \Big|_a^b$.

Таким образом, формула показывает, что для вычисления определённого интеграла достаточно:

1. Найти любую первообразную $F(x)$ для подынтегральной функции $f(x)$.

2. Вычислить значения этой первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования ($F(b)$ и $F(a)$).

3. Найти разность этих значений.

Значение этой формулы огромно, поскольку она сводит задачу вычисления площади (интегрирования) к задаче нахождения первообразной (обратной к дифференцированию), что в подавляющем большинстве случаев является значительно более простой операцией, чем прямое вычисление интеграла как предела интегральных сумм.

Ответ: Равенство, которое называют формулой Ньютона — Лейбница, имеет вид $ \int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a) $, где $f(x)$ — непрерывная на отрезке $[a, b]$ функция, а $F(x)$ — её первообразная на этом отрезке, то есть такая функция, для которой выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

5. Запишите свойства определённого интеграла.

1. Линейность: Определённый интеграл обладает свойством линейности. Это означает, что интеграл от линейной комбинации функций равен линейной комбинации интегралов от этих функций. Для любых интегрируемых на отрезке $[a, b]$ функций $f(x)$ и $g(x)$ и любых констант $k_1, k_2$ справедливо: $\int_a^b (k_1 f(x) + k_2 g(x)) \,dx = k_1 \int_a^b f(x) \,dx + k_2 \int_a^b g(x) \,dx$.

Ответ: $\int_a^b (k_1 f(x) + k_2 g(x)) \,dx = k_1 \int_a^b f(x) \,dx + k_2 \int_a^b g(x) \,dx$.

2. Аддитивность по отрезку интегрирования: Если функция $f(x)$ интегрируема на отрезках $[a, c]$ и $[c, b]$, то она интегрируема и на их объединении $[a, b]$, причём интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям. Для любой точки $c \in [a, b]$: $\int_a^b f(x) \,dx = \int_a^c f(x) \,dx + \int_c^b f(x) \,dx$.

Ответ: $\int_a^b f(x) \,dx = \int_a^c f(x) \,dx + \int_c^b f(x) \,dx$.

3. Изменение знака при перестановке пределов интегрирования: При перестановке верхнего и нижнего пределов интегрирования значение определённого интеграла меняет свой знак на противоположный. $\int_a^b f(x) \,dx = - \int_b^a f(x) \,dx$.

Ответ: $\int_a^b f(x) \,dx = - \int_b^a f(x) \,dx$.

4. Интеграл с равными пределами интегрирования: Если верхний и нижний пределы интегрирования совпадают, то значение определённого интеграла равно нулю, так как длина отрезка интегрирования равна нулю. $\int_a^a f(x) \,dx = 0$.

Ответ: $\int_a^a f(x) \,dx = 0$.

5. Монотонность (сравнение интегралов): Если на отрезке интегрирования $[a, b]$, где $a < b$, одна функция $f(x)$ не превосходит другую функцию $g(x)$ (то есть $f(x) \le g(x)$ для всех $x \in [a, b]$), то и значение интеграла от $f(x)$ не будет превышать значения интеграла от $g(x)$. $\int_a^b f(x) \,dx \le \int_a^b g(x) \,dx$.

Ответ: Если $f(x) \le g(x)$ для $x \in [a, b]$ (где $a < b$), то $\int_a^b f(x) \,dx \le \int_a^b g(x) \,dx$.

6. Теорема о среднем значении: Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, то на этом отрезке найдётся такая точка $c \in [a, b]$, что значение интеграла будет равно произведению значения функции в этой точке на длину отрезка интегрирования. $\int_a^b f(x) \,dx = f(c) \cdot (b-a)$. Величина $f(c)$ называется средним значением функции на отрезке.

Ответ: $\int_a^b f(x) \,dx = f(c) \cdot (b-a)$ для некоторого $c \in [a, b]$.

7. Оценка интеграла: Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ (где $a < b$) и её наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке равны $m$ и $M$ соответственно, то значение интеграла заключено в следующих границах: $m(b-a) \le \int_a^b f(x) \,dx \le M(b-a)$.

Ответ: $m(b-a) \le \int_a^b f(x) \,dx \le M(b-a)$.

11.1. Найдите площадь криволинейной трапеции, изображённой на рисунке 11.11.

Рис. 11.11

а

$y = x^2$

б

$y = x^3$

в

$y = \cos x$

г

$y = e^x$

д

$y = \sqrt{x}$

е

$y = -\frac{6}{x}$

ж

$y = 4 - x^2$

з

$y = \frac{1}{x^2}$

а

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = x^2$, осью абсцисс и прямыми $x=1$ и $x=2$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Функция $y = x^2$ неотрицательна на отрезке $[1, 2]$.

Площадь $S$ равна:

$S = \int_1^2 x^2 \,dx$

Находим первообразную для $f(x) = x^2$, это $F(x) = \frac{x^3}{3}$. По формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left. \frac{x^3}{3} \right|_1^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.

Ответ: $\frac{7}{3}$.

б

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3$, осью абсцисс и прямыми $x=0$ и $x=1$, вычисляется интегралом. Функция $y = x^3$ неотрицательна на отрезке $[0, 1]$.

Площадь $S$ равна:

$S = \int_0^1 x^3 \,dx$

Первообразная для $f(x) = x^3$ есть $F(x) = \frac{x^4}{4}$.

$S = \left. \frac{x^4}{4} \right|_0^1 = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

в

Фигура ограничена графиком функции $y = \cos x$, осью абсцисс и прямыми $x=\frac{\pi}{6}$ и $x=\frac{\pi}{3}$. На отрезке $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}]$ функция $y = \cos x$ неотрицательна.

Площадь $S$ вычисляется как:

$S = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \cos x \,dx$

Первообразная для $f(x) = \cos x$ есть $F(x) = \sin x$.

$S = \left. \sin x \right|_{\pi/6}^{\pi/3} = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$.

г

Фигура ограничена графиком функции $y = e^x$, осью абсцисс и прямыми $x=-1$ и $x=1$. Функция $y = e^x$ положительна на всей числовой оси.

Площадь $S$ равна:

$S = \int_{-1}^1 e^x \,dx$

Первообразная для $f(x) = e^x$ есть $F(x) = e^x$.

$S = \left. e^x \right|_{-1}^1 = e^1 - e^{-1} = e - \frac{1}{e}$.

Ответ: $e - \frac{1}{e}$.

д

Фигура ограничена графиком функции $y = \sqrt{x}$, осью абсцисс и прямыми $x=0$ и $x=4$. Функция $y = \sqrt{x}$ неотрицательна на отрезке $[0, 4]$.

Площадь $S$ равна:

$S = \int_0^4 \sqrt{x} \,dx = \int_0^4 x^{1/2} \,dx$

Первообразная для $f(x) = x^{1/2}$ есть $F(x) = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$.

$S = \left. \frac{2}{3}x^{3/2} \right|_0^4 = \frac{2}{3} \cdot 4^{3/2} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3/2} = \frac{2}{3} \cdot (\sqrt{4})^3 - 0 = \frac{2}{3} \cdot 2^3 = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$.

Ответ: $\frac{16}{3}$.

е

Фигура ограничена графиком функции $y = -\frac{6}{x}$, осью абсцисс и прямыми $x=-3$ и $x=-2$. На отрезке $[-3, -2]$ $x<0$, поэтому $y = -\frac{6}{x} > 0$.

Площадь $S$ вычисляется интегралом:

$S = \int_{-3}^{-2} \left(-\frac{6}{x}\right) \,dx = -6 \int_{-3}^{-2} \frac{1}{x} \,dx$

Первообразная для $f(x) = \frac{1}{x}$ есть $F(x) = \ln|x|$.

$S = -6 \left. \ln|x| \right|_{-3}^{-2} = -6(\ln|-2| - \ln|-3|) = -6(\ln 2 - \ln 3) = 6(\ln 3 - \ln 2) = 6\ln\frac{3}{2}$.

Ответ: $6\ln\frac{3}{2}$.

ж

Фигура ограничена графиком функции $y = 4 - x^2$ и осью абсцисс. Найдем пределы интегрирования, решив уравнение $4 - x^2 = 0$, откуда $x = \pm 2$. На отрезке $[-2, 2]$ функция $y = 4 - x^2$ неотрицательна.

Площадь $S$ равна:

$S = \int_{-2}^2 (4-x^2) \,dx$

Первообразная для $f(x) = 4-x^2$ есть $F(x) = 4x - \frac{x^3}{3}$.

$S = \left. \left(4x - \frac{x^3}{3}\right) \right|_{-2}^2 = \left(4 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(4 \cdot (-2) - \frac{(-2)^3}{3}\right) = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = \frac{16}{3} - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{32}{3}$.

Ответ: $\frac{32}{3}$.

з

Фигура ограничена графиком функции $y = \frac{1}{x^2}$, осью абсцисс и прямыми $x=\frac{1}{2}$ и $x=1$. Функция $y = \frac{1}{x^2}$ положительна на данном отрезке.

Площадь $S$ равна:

$S = \int_{1/2}^1 \frac{1}{x^2} \,dx = \int_{1/2}^1 x^{-2} \,dx$

Первообразная для $f(x) = x^{-2}$ есть $F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.

$S = \left. \left(-\frac{1}{x}\right) \right|_{1/2}^1 = \left(-\frac{1}{1}\right) - \left(-\frac{1}{1/2}\right) = -1 - (-2) = -1 + 2 = 1$.

Ответ: $1$.