Номер 4, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 2. Интеграл и его применение. Параграф 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Вопросы к параграфу - номер 4, страница 98.

Учебник.

4. Какое равенство называют формулой Ньютона – Лейбница?

Решение 2.

Формулой Ньютона — Лейбница называют равенство, которое является основной теоремой математического анализа. Эта формула связывает понятие определённого интеграла с понятием первообразной и даёт основной метод для вычисления определённых интегралов.

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и $F(x)$ является одной из её первообразных на этом отрезке (то есть $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in [a, b]$), то определённый интеграл от функции $f(x)$ по отрезку $[a, b]$ вычисляется по следующей формуле:

$ \int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a) $

Рассмотрим компоненты этого равенства:

- Левая часть: $ \int_a^b f(x) \,dx $ — это определённый интеграл от функции $f(x)$ с нижним пределом $a$ и верхним пределом $b$. Геометрически, если $f(x) \ge 0$, этот интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс $Ox$ и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

- Правая часть: $F(b) - F(a)$ — это разность значений первообразной $F(x)$ на концах отрезка интегрирования. Эту разность также принято записывать в сокращённом виде как $F(x) \Big|_a^b$.

Таким образом, формула показывает, что для вычисления определённого интеграла достаточно:

1. Найти любую первообразную $F(x)$ для подынтегральной функции $f(x)$.

2. Вычислить значения этой первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования ($F(b)$ и $F(a)$).

3. Найти разность этих значений.

Значение этой формулы огромно, поскольку она сводит задачу вычисления площади (интегрирования) к задаче нахождения первообразной (обратной к дифференцированию), что в подавляющем большинстве случаев является значительно более простой операцией, чем прямое вычисление интеграла как предела интегральных сумм.

Ответ: Равенство, которое называют формулой Ньютона — Лейбница, имеет вид $ \int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a) $, где $f(x)$ — непрерывная на отрезке $[a, b]$ функция, а $F(x)$ — её первообразная на этом отрезке, то есть такая функция, для которой выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.