Номер 4, страница 98 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Вопросы к параграфу. § 11. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 4, страница 98.
№4 (с. 98)
Учебник. №4 (с. 98)
скриншот условия

4. Какое равенство называют формулой Ньютона – Лейбница?
Решение 2. №4 (с. 98)
Формулой Ньютона — Лейбница называют равенство, которое является основной теоремой математического анализа. Эта формула связывает понятие определённого интеграла с понятием первообразной и даёт основной метод для вычисления определённых интегралов.
Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и $F(x)$ является одной из её первообразных на этом отрезке (то есть $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in [a, b]$), то определённый интеграл от функции $f(x)$ по отрезку $[a, b]$ вычисляется по следующей формуле:
$ \int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a) $
Рассмотрим компоненты этого равенства:
- Левая часть: $ \int_a^b f(x) \,dx $ — это определённый интеграл от функции $f(x)$ с нижним пределом $a$ и верхним пределом $b$. Геометрически, если $f(x) \ge 0$, этот интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс $Ox$ и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.
- Правая часть: $F(b) - F(a)$ — это разность значений первообразной $F(x)$ на концах отрезка интегрирования. Эту разность также принято записывать в сокращённом виде как $F(x) \Big|_a^b$.
Таким образом, формула показывает, что для вычисления определённого интеграла достаточно:
1. Найти любую первообразную $F(x)$ для подынтегральной функции $f(x)$.
2. Вычислить значения этой первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования ($F(b)$ и $F(a)$).
3. Найти разность этих значений.
Значение этой формулы огромно, поскольку она сводит задачу вычисления площади (интегрирования) к задаче нахождения первообразной (обратной к дифференцированию), что в подавляющем большинстве случаев является значительно более простой операцией, чем прямое вычисление интеграла как предела интегральных сумм.
Ответ: Равенство, которое называют формулой Ньютона — Лейбница, имеет вид $ \int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a) $, где $f(x)$ — непрерывная на отрезке $[a, b]$ функция, а $F(x)$ — её первообразная на этом отрезке, то есть такая функция, для которой выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 98 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 98), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.