Номер 10.25, страница 90 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 2. Интеграл и его применение. Параграф 10. Правила нахождения первообразной. Упражнения для повторения - номер 10.25, страница 90.

Учебник.

Рис. 10.1

10.25. На рисунке 10.1 изображён график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. Определите знаки коэффициентов $a, b$ и $c$.

Решение.

Решение 2.

10.24.

Область значений функции $y = \sqrt{x^2 + 2x + 2}$ определяется множеством значений подкоренного выражения $g(x) = x^2 + 2x + 2$.

Выражение $g(x)$ является квадратичной функцией, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$. Следовательно, эта функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для $g(x) = x^2 + 2x + 2$ имеем $a=1$ и $b=2$.

$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.

Наименьшее значение подкоренного выражения равно значению функции $g(x)$ в точке $x_0 = -1$:

$g(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 2 = 1 - 2 + 2 = 1$.

Альтернативный способ — выделить полный квадрат: $x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x+1)^2 + 1$. Так как $(x+1)^2 \ge 0$ для любого $x$, то наименьшее значение выражения $(x+1)^2 + 1$ равно $0+1=1$.

Таким образом, область значений подкоренного выражения $g(x)$ есть промежуток $[1; +\infty)$.

Функция $y=\sqrt{t}$ является монотонно возрастающей на своей области определения. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ будет достигаться при наименьшем значении подкоренного выражения. Наименьшее значение $y$ равно $\sqrt{1} = 1$. Поскольку $g(x)$ может принимать сколь угодно большие значения, то и $y$ может принимать сколь угодно большие значения.

Следовательно, область значений исходной функции — это промежуток $[1; +\infty)$.

Ответ: $[1; +\infty)$.

10.25.

Проанализируем график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, чтобы определить знаки коэффициентов $a, b$ и $c$.

1. Знак коэффициента a: Ветви параболы направлены вверх. Это означает, что старший коэффициент $a$ является положительным.

$a > 0$.

2. Знак коэффициента c: Коэффициент $c$ равен значению функции в точке $x=0$, то есть $c = y(0)$. Это ордината точки пересечения графика с осью $Oy$. Из рисунка видно, что парабола пересекает ось $Oy$ в точке с положительной ординатой (выше оси $Ox$).

$c > 0$.

3. Знак коэффициента b: Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. На графике вершина параболы находится в первой координатной четверти, что означает, что ее абсцисса $x_0$ положительна.

$x_0 > 0 \Rightarrow -\frac{b}{2a} > 0$.

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства:

$\frac{b}{2a} < 0$.

Так как мы уже установили, что $a > 0$, то знаменатель $2a$ также положителен. Для того чтобы дробь была отрицательной, ее числитель $b$ должен быть отрицательным.

$b < 0$.

Ответ: $a > 0, b < 0, c > 0$.