Номер 10.25, страница 90 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения для повторения. § 10. Правила нахождения первообразной. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 10.25, страница 90.
№10.25 (с. 90)
Учебник. №10.25 (с. 90)
скриншот условия

Рис. 10.1
10.25. На рисунке 10.1 изображён график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. Определите знаки коэффициентов $a, b$ и $c$.
Решение. №10.25 (с. 90)

Решение 2. №10.25 (с. 90)
10.24.
Область значений функции $y = \sqrt{x^2 + 2x + 2}$ определяется множеством значений подкоренного выражения $g(x) = x^2 + 2x + 2$.
Выражение $g(x)$ является квадратичной функцией, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$. Следовательно, эта функция имеет наименьшее значение в своей вершине.
Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для $g(x) = x^2 + 2x + 2$ имеем $a=1$ и $b=2$.
$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
Наименьшее значение подкоренного выражения равно значению функции $g(x)$ в точке $x_0 = -1$:
$g(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 2 = 1 - 2 + 2 = 1$.
Альтернативный способ — выделить полный квадрат: $x^2 + 2x + 2 = (x^2 + 2x + 1) + 1 = (x+1)^2 + 1$. Так как $(x+1)^2 \ge 0$ для любого $x$, то наименьшее значение выражения $(x+1)^2 + 1$ равно $0+1=1$.
Таким образом, область значений подкоренного выражения $g(x)$ есть промежуток $[1; +\infty)$.
Функция $y=\sqrt{t}$ является монотонно возрастающей на своей области определения. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ будет достигаться при наименьшем значении подкоренного выражения. Наименьшее значение $y$ равно $\sqrt{1} = 1$. Поскольку $g(x)$ может принимать сколь угодно большие значения, то и $y$ может принимать сколь угодно большие значения.
Следовательно, область значений исходной функции — это промежуток $[1; +\infty)$.
Ответ: $[1; +\infty)$.
10.25.
Проанализируем график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, чтобы определить знаки коэффициентов $a, b$ и $c$.
1. Знак коэффициента a: Ветви параболы направлены вверх. Это означает, что старший коэффициент $a$ является положительным.
$a > 0$.
2. Знак коэффициента c: Коэффициент $c$ равен значению функции в точке $x=0$, то есть $c = y(0)$. Это ордината точки пересечения графика с осью $Oy$. Из рисунка видно, что парабола пересекает ось $Oy$ в точке с положительной ординатой (выше оси $Ox$).
$c > 0$.
3. Знак коэффициента b: Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. На графике вершина параболы находится в первой координатной четверти, что означает, что ее абсцисса $x_0$ положительна.
$x_0 > 0 \Rightarrow -\frac{b}{2a} > 0$.
Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства:
$\frac{b}{2a} < 0$.
Так как мы уже установили, что $a > 0$, то знаменатель $2a$ также положителен. Для того чтобы дробь была отрицательной, ее числитель $b$ должен быть отрицательным.
$b < 0$.
Ответ: $a > 0, b < 0, c > 0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 10.25 расположенного на странице 90 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10.25 (с. 90), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.