Номер 10.20, страница 90 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 2. Интеграл и его применение. Параграф 10. Правила нахождения первообразной. Упражнения - номер 10.20, страница 90.

Учебник.

10.20. Для функции $f(x) = x + 1$ найдите такую первообразную, чтобы её график имел только одну общую точку с прямой $y = -4$.

Решение.

Решение 2.

Для нахождения искомой первообразной сначала определим общий вид всех первообразных для функции $f(x) = x + 1$. Первообразная $F(x)$ находится путем интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int (x + 1) dx = \frac{x^2}{2} + x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

График функции $F(x) = \frac{x^2}{2} + x + C$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($\frac{1}{2} > 0$).

Условие, что график первообразной имеет только одну общую точку с прямой $y = -4$, означает, что эта горизонтальная прямая касается параболы в её вершине. Следовательно, ордината (значение $y$) вершины параболы должна быть равна $-4$.

Найдём координаты вершины параболы. Абсцисса вершины $x_v$ для параболы вида $y = ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a = \frac{1}{2}$ и $b = 1$:

$x_v = -\frac{1}{2 \cdot (\frac{1}{2})} = -1$.

Теперь найдём ординату вершины $y_v$, подставив $x_v = -1$ в уравнение для $F(x)$:

$y_v = F(-1) = \frac{(-1)^2}{2} + (-1) + C = \frac{1}{2} - 1 + C = C - \frac{1}{2}$.

Так как $y_v$ должна быть равна $-4$, мы можем составить уравнение для нахождения $C$:

$C - \frac{1}{2} = -4$

$C = -4 + \frac{1}{2} = -\frac{8}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{7}{2}$.

Таким образом, искомая первообразная, удовлетворяющая заданному условию, имеет вид:

$F(x) = \frac{x^2}{2} + x - \frac{7}{2}$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + x - \frac{7}{2}$.