Номер 10.20, страница 90 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 10. Правила нахождения первообразной. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 10.20, страница 90.
№10.20 (с. 90)
Учебник. №10.20 (с. 90)
скриншот условия

10.20. Для функции $f(x) = x + 1$ найдите такую первообразную, чтобы её график имел только одну общую точку с прямой $y = -4$.
Решение. №10.20 (с. 90)

Решение 2. №10.20 (с. 90)
Для нахождения искомой первообразной сначала определим общий вид всех первообразных для функции $f(x) = x + 1$. Первообразная $F(x)$ находится путем интегрирования функции $f(x)$:
$F(x) = \int (x + 1) dx = \frac{x^2}{2} + x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
График функции $F(x) = \frac{x^2}{2} + x + C$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($\frac{1}{2} > 0$).
Условие, что график первообразной имеет только одну общую точку с прямой $y = -4$, означает, что эта горизонтальная прямая касается параболы в её вершине. Следовательно, ордината (значение $y$) вершины параболы должна быть равна $-4$.
Найдём координаты вершины параболы. Абсцисса вершины $x_v$ для параболы вида $y = ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a = \frac{1}{2}$ и $b = 1$:
$x_v = -\frac{1}{2 \cdot (\frac{1}{2})} = -1$.
Теперь найдём ординату вершины $y_v$, подставив $x_v = -1$ в уравнение для $F(x)$:
$y_v = F(-1) = \frac{(-1)^2}{2} + (-1) + C = \frac{1}{2} - 1 + C = C - \frac{1}{2}$.
Так как $y_v$ должна быть равна $-4$, мы можем составить уравнение для нахождения $C$:
$C - \frac{1}{2} = -4$
$C = -4 + \frac{1}{2} = -\frac{8}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{7}{2}$.
Таким образом, искомая первообразная, удовлетворяющая заданному условию, имеет вид:
$F(x) = \frac{x^2}{2} + x - \frac{7}{2}$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + x - \frac{7}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 10.20 расположенного на странице 90 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10.20 (с. 90), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.