Номер 10.15, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 10. Правила нахождения первообразной. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 10.15, страница 89.

10.15. Найдите:

1) $\int \sin^2 x dx;$

2) $\int \sin 5x \cos 3x dx;$

3) $\int \sin \frac{7x}{3} \sin \frac{5x}{3} dx.$

1) Для нахождения интеграла $\int \sin^2 x \, dx$ воспользуемся формулой понижения степени, которая следует из формулы косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$.

Из этой формулы выразим $\sin^2 x$:

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$

Теперь подставим это выражение в исходный интеграл:

$\int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos(2x)) \, dx$

Разобьем интеграл на два:

$\frac{1}{2} \left( \int 1 \, dx - \int \cos(2x) \, dx \right)$

Найдем каждый интеграл по отдельности:

$\int 1 \, dx = x$

$\int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2}\sin(2x)$

Собираем все вместе и не забываем про константу интегрирования C:

$\frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{2}\sin(2x) \right) + C = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + C$

Ответ: $\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + C$

2) Для нахождения интеграла $\int \sin 5x \cos 3x \, dx$ используем тригонометрическую формулу преобразования произведения в сумму:

$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$

В нашем случае $\alpha = 5x$ и $\beta = 3x$. Применим формулу:

$\sin 5x \cos 3x = \frac{1}{2}(\sin(5x + 3x) + \sin(5x - 3x)) = \frac{1}{2}(\sin 8x + \sin 2x)$

Подставим полученное выражение в интеграл:

$\int \frac{1}{2}(\sin 8x + \sin 2x) \, dx = \frac{1}{2} \int (\sin 8x + \sin 2x) \, dx$

Интегрируем почленно:

$\frac{1}{2} \left( \int \sin 8x \, dx + \int \sin 2x \, dx \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{8}\cos 8x - \frac{1}{2}\cos 2x \right) + C$

Упрощаем выражение:

$-\frac{1}{16}\cos 8x - \frac{1}{4}\cos 2x + C$

Ответ: $-\frac{1}{16}\cos 8x - \frac{1}{4}\cos 2x + C$

3) Для нахождения интеграла $\int \sin \frac{7x}{3} \sin \frac{5x}{3} \, dx$ используем тригонометрическую формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов:

$\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$

В нашем случае $\alpha = \frac{7x}{3}$ и $\beta = \frac{5x}{3}$. Применим формулу:

$\sin \frac{7x}{3} \sin \frac{5x}{3} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{7x}{3} - \frac{5x}{3}\right) - \cos\left(\frac{7x}{3} + \frac{5x}{3}\right)\right)$

$\sin \frac{7x}{3} \sin \frac{5x}{3} = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{2x}{3}\right) - \cos\left(\frac{12x}{3}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\frac{2x}{3} - \cos 4x\right)$

Подставим полученное выражение в интеграл:

$\int \frac{1}{2}\left(\cos\frac{2x}{3} - \cos 4x\right) \, dx = \frac{1}{2} \int \left(\cos\frac{2x}{3} - \cos 4x\right) \, dx$

Интегрируем почленно:

$\frac{1}{2} \left( \int \cos\frac{2x}{3} \, dx - \int \cos 4x \, dx \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2/3}\sin\frac{2x}{3} - \frac{1}{4}\sin 4x \right) + C$

$\frac{1}{2} \left( \frac{3}{2}\sin\frac{2x}{3} - \frac{1}{4}\sin 4x \right) + C = \frac{3}{4}\sin\frac{2x}{3} - \frac{1}{8}\sin 4x + C$

Ответ: $\frac{3}{4}\sin\frac{2x}{3} - \frac{1}{8}\sin 4x + C$