Номер 10.9, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 10. Правила нахождения первообразной. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 10.9, страница 89.

10.9. Функции $F_1$ и $F_2$ являются первообразными функции $f$. График функции $F_1$ проходит через точку $A$, а функции $F_2$ – через точку $B$. График какой из функций, $F_1$ или $F_2$, расположен выше, если:

1) $f(x) = 5x^4 - 3x^2 - 2$, $A(1; 2)$, $B(0; 5)$;

2) $f(x) = (2x - 1)^2$, $A(2; 6)$, $B(-1; 1)$?

1)

По определению, если функции $F_1(x)$ и $F_2(x)$ являются первообразными для одной и той же функции $f(x)$, то они отличаются на некоторую постоянную величину (константу). То есть, $F_2(x) = F_1(x) + C$ для любого $x$. Это означает, что график одной функции получается из графика другой параллельным переносом вдоль оси ординат. Чтобы определить, какой график расположен выше, нам нужно найти эту константу, сравнив функции $F_1(x)$ и $F_2(x)$.

Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = 5x^4 - 3x^2 - 2$.

$F(x) = \int (5x^4 - 3x^2 - 2) dx = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} - 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - 2x + C = x^5 - x^3 - 2x + C$.

Пусть первообразная $F_1(x)$ имеет вид $F_1(x) = x^5 - x^3 - 2x + C_1$, а первообразная $F_2(x)$ имеет вид $F_2(x) = x^5 - x^3 - 2x + C_2$.

График функции $F_1(x)$ проходит через точку $A(1; 2)$, это значит, что $F_1(1) = 2$. Подставим значения в уравнение для $F_1(x)$:

$F_1(1) = 1^5 - 1^3 - 2(1) + C_1 = 2$

$1 - 1 - 2 + C_1 = 2$

$-2 + C_1 = 2$

$C_1 = 4$

Таким образом, $F_1(x) = x^5 - x^3 - 2x + 4$.

График функции $F_2(x)$ проходит через точку $B(0; 5)$, это значит, что $F_2(0) = 5$. Подставим значения в уравнение для $F_2(x)$:

$F_2(0) = 0^5 - 0^3 - 2(0) + C_2 = 5$

$C_2 = 5$

Таким образом, $F_2(x) = x^5 - x^3 - 2x + 5$.

Теперь сравним функции $F_1(x)$ и $F_2(x)$:

$F_1(x) = x^5 - x^3 - 2x + 4$

$F_2(x) = x^5 - x^3 - 2x + 5$

Разность функций $F_2(x) - F_1(x) = (x^5 - x^3 - 2x + 5) - (x^5 - x^3 - 2x + 4) = 5 - 4 = 1$.

Так как $F_2(x) = F_1(x) + 1$, то для любого значения $x$ значение функции $F_2$ на 1 больше значения функции $F_1$. Следовательно, график функции $F_2$ расположен выше графика функции $F_1$.

Ответ: график функции $F_2$ расположен выше.

2)

Аналогично первому пункту, найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = (2x - 1)^2$. Для удобства интегрирования раскроем скобки:

$f(x) = (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$.

Теперь найдем первообразную:

$F(x) = \int (4x^2 - 4x + 1) dx = 4 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C = \frac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x + C$.

Первообразные $F_1(x)$ и $F_2(x)$ будут иметь вид:

$F_1(x) = \frac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x + C_1$

$F_2(x) = \frac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x + C_2$

График функции $F_1(x)$ проходит через точку $A(2; 6)$, значит $F_1(2) = 6$.

$F_1(2) = \frac{4}{3}(2)^3 - 2(2)^2 + 2 + C_1 = 6$

$\frac{4}{3} \cdot 8 - 2 \cdot 4 + 2 + C_1 = 6$

$\frac{32}{3} - 8 + 2 + C_1 = 6$

$\frac{32}{3} - 6 + C_1 = 6$

$C_1 = 12 - \frac{32}{3} = \frac{36 - 32}{3} = \frac{4}{3}$

Итак, $F_1(x) = \frac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x + \frac{4}{3}$.

График функции $F_2(x)$ проходит через точку $B(-1; 1)$, значит $F_2(-1) = 1$.

$F_2(-1) = \frac{4}{3}(-1)^3 - 2(-1)^2 + (-1) + C_2 = 1$

$-\frac{4}{3} - 2 - 1 + C_2 = 1$

$-\frac{4}{3} - 3 + C_2 = 1$

$C_2 = 1 + 3 + \frac{4}{3} = 4 + \frac{4}{3} = \frac{12+4}{3} = \frac{16}{3}$

Итак, $F_2(x) = \frac{4}{3}x^3 - 2x^2 + x + \frac{16}{3}$.

Сравним константы $C_1 = \frac{4}{3}$ и $C_2 = \frac{16}{3}$.

Так как $\frac{16}{3} > \frac{4}{3}$, то $C_2 > C_1$. Разность $C_2 - C_1 = \frac{16}{3} - \frac{4}{3} = \frac{12}{3} = 4$.

Это означает, что $F_2(x) = F_1(x) + 4$. Для любого $x$ значение функции $F_2$ на 4 больше, чем значение функции $F_1$. Следовательно, график функции $F_2$ расположен выше графика функции $F_1$.

Ответ: график функции $F_2$ расположен выше.