Номер 10.12, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 10. Правила нахождения первообразной. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 10.12, страница 89.

10.12. Тело движется по координатной прямой со скоростью, которая определяется в любой момент времени $t$ по формуле $v(t) = 6t^2 + 1$. Найдите формулу, которая выражает зависимость координаты точки от времени, если в момент времени $t = 3$ с тело находилось на расстоянии 10 м от начала координат (скорость движения измеряется в метрах в секунду).

Чтобы найти формулу, выражающую зависимость координаты точки от времени, $s(t)$, необходимо найти первообразную для функции скорости $v(t)$, так как скорость является производной от координаты по времени ($v(t) = s'(t)$).

1. Нахождение общего вида функции координаты.
Интегрируем данную функцию скорости $v(t) = 6t^2 + 1$:
$s(t) = \int v(t) dt = \int (6t^2 + 1) dt$
Используя табличные интегралы, получаем:
$s(t) = 6 \cdot \frac{t^{3}}{3} + t + C = 2t^3 + t + C$
Здесь $C$ — это константа интегрирования.

2. Определение константы интегрирования $C$.
По условию задачи, в момент времени $t = 3$ с, тело находилось на расстоянии 10 м от начала координат, что означает $s(3) = 10$. Подставим эти значения в полученную формулу для $s(t)$:
$10 = 2 \cdot (3)^3 + 3 + C$
Выполняем вычисления:
$10 = 2 \cdot 27 + 3 + C$
$10 = 54 + 3 + C$
$10 = 57 + C$
Из этого уравнения находим значение константы $C$:
$C = 10 - 57 = -47$

3. Запись итоговой формулы для координаты.
Теперь, когда мы нашли значение $C$, подставим его в общий вид функции координаты:
$s(t) = 2t^3 + t - 47$
Это и есть искомая формула.

Ответ: $s(t) = 2t^3 + t - 47$.