Номер 10.7, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 2. Интеграл и его применение. Параграф 10. Правила нахождения первообразной. Упражнения - номер 10.7, страница 89.

Учебник.

10.7. Для функции $f(x) = 4x^3 + 4x$ найдите первообразную $F$, один из нулей которой равен $-1$. Найдите остальные нули этой первообразной.

Решение.

Решение 2.

Найдите первообразную F, один из нулей которой равен -1

Для функции $f(x) = 4x^3 + 4x$ общий вид первообразной $F(x)$ находится через интегрирование:

$F(x) = \int f(x) dx = \int (4x^3 + 4x) dx$

Применяя формулу для интеграла степенной функции, получаем:

$F(x) = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^4 + 2x^2 + C$

где $C$ - произвольная постоянная (константа интегрирования).

По условию, один из нулей первообразной равен -1. Это значит, что при $x = -1$ значение функции $F(x)$ равно нулю, то есть $F(-1) = 0$. Используем это условие для нахождения константы $C$:

$F(-1) = (-1)^4 + 2(-1)^2 + C = 0$

$1 + 2 \cdot 1 + C = 0$

$3 + C = 0$

$C = -3$

Таким образом, искомая первообразная имеет вид $F(x) = x^4 + 2x^2 - 3$.

Ответ: $F(x) = x^4 + 2x^2 - 3$.

Найдите остальные нули этой первообразной

Чтобы найти нули функции $F(x) = x^4 + 2x^2 - 3$, необходимо решить уравнение $F(x) = 0$:

$x^4 + 2x^2 - 3 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$. Уравнение принимает вид:

$y^2 + 2y - 3 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета:

$y_1 + y_2 = -2$

$y_1 \cdot y_2 = -3$

Отсюда легко находятся корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.

Корень $y_2 = -3$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Рассмотрим единственный подходящий корень $y_1 = 1$. Сделаем обратную замену:

$x^2 = 1$

Это уравнение имеет два решения: $x = 1$ и $x = -1$.

Таким образом, нули первообразной функции $F(x)$ - это $x=1$ и $x=-1$. В условии сказано, что один из нулей равен -1. Следовательно, остальной нуль - это 1.

Ответ: 1.