Номер 10.7, страница 89 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 10. Правила нахождения первообразной. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 10.7, страница 89.
№10.7 (с. 89)
Учебник. №10.7 (с. 89)
скриншот условия

10.7. Для функции $f(x) = 4x^3 + 4x$ найдите первообразную $F$, один из нулей которой равен $-1$. Найдите остальные нули этой первообразной.
Решение. №10.7 (с. 89)


Решение 2. №10.7 (с. 89)
Найдите первообразную F, один из нулей которой равен -1
Для функции $f(x) = 4x^3 + 4x$ общий вид первообразной $F(x)$ находится через интегрирование:
$F(x) = \int f(x) dx = \int (4x^3 + 4x) dx$
Применяя формулу для интеграла степенной функции, получаем:
$F(x) = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^4 + 2x^2 + C$
где $C$ - произвольная постоянная (константа интегрирования).
По условию, один из нулей первообразной равен -1. Это значит, что при $x = -1$ значение функции $F(x)$ равно нулю, то есть $F(-1) = 0$. Используем это условие для нахождения константы $C$:
$F(-1) = (-1)^4 + 2(-1)^2 + C = 0$
$1 + 2 \cdot 1 + C = 0$
$3 + C = 0$
$C = -3$
Таким образом, искомая первообразная имеет вид $F(x) = x^4 + 2x^2 - 3$.
Ответ: $F(x) = x^4 + 2x^2 - 3$.
Найдите остальные нули этой первообразной
Чтобы найти нули функции $F(x) = x^4 + 2x^2 - 3$, необходимо решить уравнение $F(x) = 0$:
$x^4 + 2x^2 - 3 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$. Уравнение принимает вид:
$y^2 + 2y - 3 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета:
$y_1 + y_2 = -2$
$y_1 \cdot y_2 = -3$
Отсюда легко находятся корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.
Корень $y_2 = -3$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним.
Рассмотрим единственный подходящий корень $y_1 = 1$. Сделаем обратную замену:
$x^2 = 1$
Это уравнение имеет два решения: $x = 1$ и $x = -1$.
Таким образом, нули первообразной функции $F(x)$ - это $x=1$ и $x=-1$. В условии сказано, что один из нулей равен -1. Следовательно, остальной нуль - это 1.
Ответ: 1.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 10.7 расположенного на странице 89 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №10.7 (с. 89), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.