Вопрос, страница 85 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 10. Правила нахождения первообразной. Глава 2. Интеграл и его применение - страница 85.

Сформулируйте правила нахождения первообразной.

Нахождение первообразной, или интегрирование, — это операция в математическом анализе, обратная дифференцированию. Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, если для любого $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

Поскольку производная константы равна нулю, если $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, то и любая функция вида $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная, также будет первообразной для $f(x)$. Совокупность всех первообразных для функции $f(x)$ записывается как $F(x) + C$ и называется неопределенным интегралом.

Для нахождения первообразных пользуются таблицей первообразных основных элементарных функций и следующими правилами:

Правило 1. Первообразная суммы (разности)

Первообразная суммы (или разности) функций равна сумме (или разности) их первообразных. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, а $G(x)$ — первообразная для $g(x)$, то первообразной для функции $f(x) \pm g(x)$ является функция $F(x) \pm G(x)$.

Ответ: Первообразная для $f(x) \pm g(x)$ есть $F(x) \pm G(x) + C$.

Правило 2. Вынесение постоянного множителя

Постоянный множитель можно выносить за знак первообразной. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$ и $k$ — постоянный коэффициент, то первообразной для функции $k \cdot f(x)$ является функция $k \cdot F(x)$.

Ответ: Первообразная для $k \cdot f(x)$ есть $k \cdot F(x) + C$.

Правило 3. Первообразная сложной функции вида $f(kx+b)$

Если $F(u)$ — первообразная для $f(u)$, то для сложной функции $f(kx+b)$, где $k$ и $b$ — константы и $k \neq 0$, первообразная находится по формуле $\frac{1}{k}F(kx+b)$. Это правило является следствием правила дифференцирования сложной функции. Например, чтобы найти первообразную для $\cos(2x)$, мы знаем, что первообразная для $\cos(u)$ — это $\sin(u)$. Применяя правило, получаем $\frac{1}{2}\sin(2x)$.

Ответ: Первообразная для $f(kx+b)$ есть $\frac{1}{k}F(kx+b) + C$.