Номер 9.19, страница 82 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения. § 9. Первообразная. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 9.19, страница 82.

9.19. Найдите область определения функции

$y = \sqrt{|x-1|(3x-6)} + \frac{3}{x^2+4x-21}$

Область определения функции – это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $y = \sqrt{|x - 1|(3x - 6)} + \frac{3}{x^2 + 4x - 21}$ представляет собой сумму двух слагаемых, поэтому она определена, когда оба слагаемых определены одновременно.

Для этого должны выполняться два условия:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$|x - 1|(3x - 6) \ge 0$

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$x^2 + 4x - 21 \ne 0$

Рассмотрим оба условия по отдельности.

1. Решение неравенства $|x - 1|(3x - 6) \ge 0$

Множитель $|x - 1|$ всегда неотрицателен, то есть $|x - 1| \ge 0$ для любых действительных чисел $x$.

Произведение неотрицательного числа $|x-1|$ и числа $(3x-6)$ будет неотрицательным в двух случаях:

• Если $|x - 1| = 0$. Это достигается при $x = 1$. Подставив $x=1$ в неравенство, получаем $0 \cdot (3 \cdot 1 - 6) \ge 0$, то есть $0 \ge 0$. Это верное утверждение, значит $x=1$ является решением.
• Если $|x - 1| > 0$ (то есть при $x \ne 1$), то для выполнения неравенства необходимо, чтобы второй множитель был неотрицателен: $3x - 6 \ge 0$ $3x \ge 6$ $x \ge 2$

Объединяя эти два случая, получаем, что первое условие выполняется для всех $x$ из множества $\{1\} \cup [2, +\infty)$.

2. Решение условия $x^2 + 4x - 21 \ne 0$

Чтобы найти значения $x$, которые нужно исключить, решим квадратное уравнение $x^2 + 4x - 21 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 10}{2} = -7$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 10}{2} = 3$

Таким образом, второе условие означает, что $x \ne -7$ и $x \ne 3$.

Нахождение области определения функции

Теперь необходимо найти пересечение множеств, удовлетворяющих обоим условиям. Мы должны взять множество решений первого неравенства $\{1\} \cup [2, +\infty)$ и исключить из него точки $x = -7$ и $x = 3$.

• Значение $x = -7$ не входит в множество $\{1\} \cup [2, +\infty)$, поэтому его исключать не требуется.
• Значение $x = 3$ входит в промежуток $[2, +\infty)$. Его необходимо исключить.

Исключение точки $x=3$ из промежутка $[2, +\infty)$ разбивает его на два интервала: $[2, 3)$ и $(3, +\infty)$.

Итак, итоговая область определения функции является объединением точки $x=1$ и полученных промежутков.

Ответ: $x \in \{1\} \cup [2, 3) \cup (3, +\infty)$