Номер 9.14, страница 81 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 9. Первообразная. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 9.14, страница 81.

9.14. Для функции $f (x) = \sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2}$ найдите какие-нибудь две первообразные, расстояние между соответствующими точками которых (то есть точками с равными абсциссами) равно 2.

Первым шагом упростим данную функцию $f(x) = \sin^2\frac{x}{2} - \cos^2\frac{x}{2}$. Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, получаем: $f(x) = -(\cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}) = -\cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = -\cos(x)$.

Общий вид первообразной для функции $f(x) = -\cos(x)$ находится через интегрирование: $F(x) = \int (-\cos(x)) dx = -\sin(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Нам нужно найти две различные первообразные, $F_1(x)$ и $F_2(x)$, которые отличаются константами: $F_1(x) = -\sin(x) + C_1$
$F_2(x) = -\sin(x) + C_2$

Расстояние между соответствующими точками на графиках этих функций (с равными абсциссами $x$) равно модулю разности их значений. По условию, это расстояние равно 2: $|F_1(x) - F_2(x)| = |(-\sin(x) + C_1) - (-\sin(x) + C_2)| = |C_1 - C_2| = 2$.

Следовательно, нам нужно выбрать две константы $C_1$ и $C_2$, чтобы модуль их разности был равен 2. Можно выбрать, например, $C_1=1$ и $C_2=-1$. Тогда искомые первообразные:
$F_1(x) = -\sin(x) + 1$
$F_2(x) = -\sin(x) - 1$

Ответ: $F_1(x) = -\sin(x) + 1$ и $F_2(x) = -\sin(x) - 1$.