Номер 9.16, страница 82 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 9. Первообразная. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 9.16, страница 82.

9.16. Докажите, что функции $F_1(x) = \sin^2 x$ и $F_2(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x$ являются первообразными функции $f(x) = \sin 2x$. При каком значении $C$ верно равенство $F_2(x) = F_1(x) + C$?

Докажите, что функции $F_1(x) = \sin^2x$ и $F_2(x) = -\frac{1}{2}\cos2x$ являются первообразными функции $f(x) = \sin2x$.
По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, если ее производная $F'(x)$ равна $f(x)$. Чтобы доказать утверждение, необходимо найти производные функций $F_1(x)$ и $F_2(x)$ и сравнить их с $f(x)$.
1. Найдем производную функции $F_1(x) = \sin^2x$. Используем правило дифференцирования сложной функции:
$F_1'(x) = (\sin^2x)' = 2\sin x \cdot (\sin x)' = 2\sin x \cos x$.
Согласно тригонометрической формуле синуса двойного угла ($\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$), получаем:
$F_1'(x) = \sin2x$.
Поскольку $F_1'(x) = f(x)$, функция $F_1(x)$ является первообразной для $f(x)$.
2. Найдем производную функции $F_2(x) = -\frac{1}{2}\cos2x$. Также используем правило дифференцирования сложной функции:
$F_2'(x) = (-\frac{1}{2}\cos2x)' = -\frac{1}{2} \cdot (\cos2x)' = -\frac{1}{2} \cdot (-\sin2x) \cdot (2x)' = -\frac{1}{2} \cdot (-\sin2x) \cdot 2 = \sin2x$.
Поскольку $F_2'(x) = f(x)$, функция $F_2(x)$ также является первообразной для $f(x)$.
Ответ: Доказано, что $F_1'(x) = \sin2x$ и $F_2'(x) = \sin2x$, следовательно, обе функции являются первообразными для $f(x)$.

При каком значении $C$ верно равенство $F_2(x) = F_1(x) + C$?
Две первообразные одной и той же функции отличаются на константу. Найдем эту константу $C$, выразив ее из данного равенства:
$C = F_2(x) - F_1(x)$.
Подставим в это уравнение выражения для $F_1(x)$ и $F_2(x)$:
$C = -\frac{1}{2}\cos2x - \sin^2x$.
Чтобы найти числовое значение $C$, нужно упростить это выражение. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos2x = 1 - 2\sin^2x$. Подставим ее в наше выражение для $C$:
$C = -\frac{1}{2}(1 - 2\sin^2x) - \sin^2x$.
Раскроем скобки:
$C = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 2\sin^2x - \sin^2x$.
$C = -\frac{1}{2} + \sin^2x - \sin^2x$.
После приведения подобных слагаемых получаем:
$C = -\frac{1}{2}$.
Ответ: Равенство $F_2(x) = F_1(x) + C$ верно при $C = -\frac{1}{2}$.