Номер 9.15, страница 81 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 9. Первообразная. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 9.15, страница 81.

9.15. Докажите, что функции $F_1(x) = \frac{1}{2}\sin 2x$ и $F_2(x) = -\sin^2 \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ являются первообразными функции $f(x) = \cos 2x$. При каком значении $C$ верно равенство $F_1(x) = F_2(x) + C$?

Докажите, что функции $F_1(x) = \frac{1}{2}\sin 2x$ и $F_2(x) = -\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ являются первообразными функции $f(x) = \cos 2x$.

Чтобы доказать, что некоторая функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, необходимо показать, что производная $F'(x)$ равна $f(x)$.

1. Найдем производную функции $F_1(x) = \frac{1}{2}\sin 2x$.

Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$F_1'(x) = \left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)' = \frac{1}{2} \cdot (\sin 2x)' = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot 2 = \cos 2x$.

Поскольку $F_1'(x) = \cos 2x = f(x)$, функция $F_1(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

2. Найдем производную функции $F_2(x) = -\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$.

Снова используем правило дифференцирования сложной функции:

$F_2'(x) = \left(-\sin^2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)' = -2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) \cdot \left(\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)' = -2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right) \cdot \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right) \cdot \left(x-\frac{\pi}{4}\right)'$.

Так как производная $(x-\frac{\pi}{4})'$ равна 1, а выражение $2\sin\alpha\cos\alpha$ равно $\sin(2\alpha)$, получаем:

$F_2'(x) = -\left(2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right) = -\sin\left(2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right) = -\sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)$.

Применим формулу приведения $\sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = -\cos\alpha$:

$F_2'(x) = -(-\cos 2x) = \cos 2x$.

Поскольку $F_2'(x) = \cos 2x = f(x)$, функция $F_2(x)$ также является первообразной для функции $f(x)$.

Ответ: Производные функций $F_1(x)$ и $F_2(x)$ равны $f(x)$, следовательно, они являются ее первообразными, что и требовалось доказать.

При каком значении C верно равенство $F_1(x) = F_2(x) + C$?

Известно, что если две функции являются первообразными для одной и той же функции, то они отличаются на константу. Чтобы найти эту константу $C$, нужно выразить ее из равенства: $C = F_1(x) - F_2(x)$.

Для нахождения $C$ преобразуем выражение для $F_2(x)$, используя тригонометрические тождества. Применим формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$:

$F_2(x) = -\sin^2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1 - \cos\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right)}{2} = -\frac{1 - \cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)}{2}$.

Теперь используем формулу приведения $\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin\alpha$:

$F_2(x) = -\frac{1 - \sin 2x}{2} = \frac{\sin 2x - 1}{2} = \frac{1}{2}\sin 2x - \frac{1}{2}$.

Подставим полученное выражение для $F_2(x)$ в равенство $F_1(x) = F_2(x) + C$:

$\frac{1}{2}\sin 2x = \left(\frac{1}{2}\sin 2x - \frac{1}{2}\right) + C$.

Вычитая $\frac{1}{2}\sin 2x$ из обеих частей уравнения, получаем:

$0 = -\frac{1}{2} + C$.

Отсюда находим $C$:

$C = \frac{1}{2}$.

Ответ: $C = \frac{1}{2}$.