Номер 9.9, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 9. Первообразная. Глава 2. Интеграл и его применение - номер 9.9, страница 80.

9.9. Для функции $f$ найдите первообразную, график которой проходит через указанную точку:

1) $f(x) = x^3$, $M(1; \frac{5}{4});$

2) $f(x) = \cos x$, $N(\frac{\pi}{6}; \frac{5}{2});$

3) $f(x) = 3^x$, $K(2; \frac{9}{\ln 3}).$

1) $f(x) = x^3$, $M(1; \frac{5}{4})$

Задача состоит в том, чтобы найти такую первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$, что ее график проходит через заданную точку $M$.

Сначала найдем общий вид всех первообразных для функции $f(x) = x^3$. Для этого используем формулу интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$F(x) = \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).

Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(1; \frac{5}{4})$. Это означает, что при $x=1$ значение функции $F(x)$ должно быть равно $\frac{5}{4}$, то есть $F(1) = \frac{5}{4}$.

Подставим $x=1$ в выражение для $F(x)$:

$F(1) = \frac{1^4}{4} + C = \frac{1}{4} + C$

Приравняем полученное выражение к заданному значению:

$\frac{1}{4} + C = \frac{5}{4}$

Решим уравнение относительно $C$:

$C = \frac{5}{4} - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Подставим найденное значение $C=1$ в общую формулу первообразной.

Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} + 1$

2) $f(x) = \cos x$, $N(\frac{\pi}{6}; \frac{5}{2})$

Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = \cos x$. Первообразной для косинуса является синус.

$F(x) = \int \cos x dx = \sin x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

График искомой первообразной проходит через точку $N(\frac{\pi}{6}; \frac{5}{2})$, что означает $F(\frac{\pi}{6}) = \frac{5}{2}$.

Подставим $x = \frac{\pi}{6}$ в выражение для $F(x)$:

$F(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) + C$

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$F(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} + C$

Приравняем это к заданному значению:

$\frac{1}{2} + C = \frac{5}{2}$

Найдем $C$:

$C = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Подставим найденное значение $C=2$ в общую формулу первообразной.

Ответ: $F(x) = \sin x + 2$

3) $f(x) = 3^x$, $K(2; \frac{9}{\ln 3})$

Найдем общий вид первообразных для показательной функции $f(x) = 3^x$. Используем формулу $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$:

$F(x) = \int 3^x dx = \frac{3^x}{\ln 3} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

График первообразной проходит через точку $K(2; \frac{9}{\ln 3})$, значит, $F(2) = \frac{9}{\ln 3}$.

Подставим $x=2$ в выражение для $F(x)$:

$F(2) = \frac{3^2}{\ln 3} + C = \frac{9}{\ln 3} + C$

Приравняем это к заданному значению:

$\frac{9}{\ln 3} + C = \frac{9}{\ln 3}$

Найдем $C$:

$C = \frac{9}{\ln 3} - \frac{9}{\ln 3} = 0$

Поскольку $C=0$, искомая первообразная имеет следующий вид.

Ответ: $F(x) = \frac{3^x}{\ln 3}$