Страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.5. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = 0;$

2) $f(x) = x^8;$

3) $f(x) = \frac{1}{3^x};$

4) $f(x) = \frac{1}{x^{20}}$ на промежутке $(0; +\infty);$

5) $f(x) = \sqrt[7]{x}$ на промежутке $(4; +\infty);$

6) $f(x) = \sqrt[4]{x}$ на промежутке $[0.5; +\infty).$

1) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x)$ необходимо найти неопределенный интеграл $\int f(x) \,dx$. Первообразная $F(x)$ — это функция, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Общий вид первообразных записывается как $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Для функции $f(x) = 0$, нам нужно найти функцию, производная которой равна нулю. Это свойство любой постоянной функции.
$F(x) = C$, так как $F'(x) = (C)' = 0$.
Ответ: $F(x) = C$.

2) Для нахождения первообразной степенной функции $f(x) = x^n$ используется табличная формула интегрирования: $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (при $n \ne -1$).
В данном случае $f(x) = x^8$, значит $n=8$.
$F(x) = \int x^8 \,dx = \frac{x^{8+1}}{8+1} + C = \frac{x^9}{9} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^9}{9} + C$.

3) Преобразуем функцию: $f(x) = \frac{1}{3^x} = 3^{-x}$.
Для нахождения первообразной показательной функции $f(x) = a^x$ используется формула $\int a^x \,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$. В нашем случае аргумент имеет вид $kx$, поэтому формула будет $\int a^{kx} \,dx = \frac{a^{kx}}{k \ln a} + C$.
Здесь $a=3$ и $k=-1$.
$F(x) = \int 3^{-x} \,dx = \frac{3^{-x}}{-1 \cdot \ln 3} + C = -\frac{3^{-x}}{\ln 3} + C = -\frac{1}{3^x \ln 3} + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3^x \ln 3} + C$.

4) Представим функцию в виде степенной: $f(x) = \frac{1}{x^{20}} = x^{-20}$.
Используем ту же формулу для степенной функции, что и в пункте 2. Здесь $n=-20$.
$F(x) = \int x^{-20} \,dx = \frac{x^{-20+1}}{-20+1} + C = \frac{x^{-19}}{-19} + C = -\frac{1}{19x^{19}} + C$.
Функция непрерывна на заданном промежутке $(0; +\infty)$, и найденная первообразная также определена на этом промежутке.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{19x^{19}} + C$.

5) Представим функцию в виде степенной: $f(x) = \sqrt[7]{x} = x^{\frac{1}{7}}$.
Используем формулу для степенной функции. Здесь $n=\frac{1}{7}$.
$F(x) = \int x^{\frac{1}{7}} \,dx = \frac{x^{\frac{1}{7}+1}}{\frac{1}{7}+1} + C = \frac{x^{\frac{8}{7}}}{\frac{8}{7}} + C = \frac{7}{8}x^{\frac{8}{7}} + C$.
Результат можно также записать как $\frac{7}{8}x\sqrt[7]{x} + C$. Функция и ее первообразная определены на заданном промежутке $(4; +\infty)$.
Ответ: $F(x) = \frac{7}{8}x^{\frac{8}{7}} + C$.

6) Представим функцию в виде степенной: $f(x) = \sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}$.
Используем формулу для степенной функции. Здесь $n=\frac{1}{4}$.
$F(x) = \int x^{\frac{1}{4}} \,dx = \frac{x^{\frac{1}{4}+1}}{\frac{1}{4}+1} + C = \frac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} + C = \frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}} + C$.
Результат можно также записать как $\frac{4}{5}x\sqrt[4]{x} + C$. Функция и ее первообразная определены на заданном промежутке $[0,5; +\infty)$.
Ответ: $F(x) = \frac{4}{5}x^{\frac{5}{4}} + C$.

9.6. Проверьте, что:

1) $\int x \cos x \,dx = \cos x + x \sin x + C$, где $C$ — любое число;

2) $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+4}} \,dx = \sqrt{x^2+4} + C$, где $C$ — любое число.

1) Чтобы проверить данное равенство, необходимо найти производную от его правой части. По определению первообразной, производная от интеграла $\int f(x)dx$ равна подынтегральной функции $f(x)$. Следовательно, если производная от функции $F(x) = \cos x + x \sin x + C$ будет равна $x \cos x$, то равенство верно.

Найдем производную от $F(x)$:

$F'(x) = (\cos x + x \sin x + C)'$

Используем правило дифференцирования суммы:

$F'(x) = (\cos x)' + (x \sin x)' + (C)'$

Найдем каждую производную отдельно:

Производная косинуса: $(\cos x)' = -\sin x$.

Производная константы: $(C)' = 0$.

Для производной произведения $x \sin x$ используем формулу $(uv)' = u'v + uv'$:

$(x \sin x)' = (x)' \sin x + x (\sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x$.

Теперь подставим найденные производные обратно в выражение для $F'(x)$:

$F'(x) = -\sin x + (\sin x + x \cos x) + 0 = -\sin x + \sin x + x \cos x = x \cos x$.

Полученная производная $x \cos x$ совпадает с подынтегральной функцией. Следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство верно.

2) Проверим второе равенство аналогичным образом. Найдем производную от правой части $F(x) = \sqrt{x^2 + 4} + C$ и сравним ее с подынтегральной функцией $\frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}$.

Найдем производную от $F(x)$:

$F'(x) = (\sqrt{x^2 + 4} + C)' = (\sqrt{x^2 + 4})' + (C)'$.

Производная константы $(C)' = 0$.

Для нахождения производной от $\sqrt{x^2 + 4}$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Запишем функцию как $(x^2 + 4)^{1/2}$.

Пусть $u = x^2 + 4$, тогда $u' = 2x$. Наша функция имеет вид $y = u^{1/2}$, ее производная $y' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

По правилу производной сложной функции:

$(\sqrt{x^2 + 4})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4}} \cdot (x^2 + 4)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4}} \cdot 2x = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 4}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}$.

Таким образом, производная всей правой части равна:

$F'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} + 0 = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}$.

Полученная производная совпадает с подынтегральной функцией. Следовательно, равенство доказано.

Ответ: Равенство верно.

9.7. Проверьте, что функция $F(x) = \frac{x-2}{3x-1}$ является первообразной функцией $f(x) = \frac{5}{(3x-1)^2}$ на каждом из промежутков $(-\infty; \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}; +\infty)$, и запишите общий вид первообразных функции $f$ на каждом из указанных промежутков.

Проверка того, что $F(x)$ является первообразной функции $f(x)$

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

Даны функции $F(x) = \frac{x-2}{3x-1}$ и $f(x) = \frac{5}{(3x-1)^2}$. Область определения обеих функций — это множество всех действительных чисел, кроме тех, где знаменатель равен нулю, то есть $3x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{3}$. Таким образом, функции определены и дифференцируемы на промежутках $(-\infty; \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}; +\infty)$.

Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

$F'(x) = \left(\frac{x-2}{3x-1}\right)' = \frac{(x-2)'(3x-1) - (x-2)(3x-1)'}{(3x-1)^2}$

Поскольку производная числителя $(x-2)' = 1$ и производная знаменателя $(3x-1)' = 3$, подставим эти значения в формулу:

$F'(x) = \frac{1 \cdot (3x-1) - (x-2) \cdot 3}{(3x-1)^2} = \frac{3x - 1 - (3x - 6)}{(3x-1)^2} = \frac{3x - 1 - 3x + 6}{(3x-1)^2} = \frac{5}{(3x-1)^2}$

В результате мы получили, что $F'(x) = \frac{5}{(3x-1)^2} = f(x)$ для всех $x$ из области определения.

Ответ: Равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется на каждом из промежутков $(-\infty; \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}; +\infty)$, следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на этих промежутках.

Общий вид первообразных функции $f$

Общий вид всех первообразных для функции $f(x)$ на некотором промежутке находится по формуле $F(x) + C$, где $F(x)$ — одна из первообразных, а $C$ — произвольная постоянная.

Так как область определения функции $f(x)$ состоит из двух непересекающихся промежутков, $(-\infty; \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}; +\infty)$, постоянная интегрирования может быть разной для каждого из этих промежутков.

Таким образом, общий вид всех первообразных для функции $f(x)$ на объединении этих промежутков записывается как совокупность решений для каждого промежутка: $G(x) = \begin{cases} \frac{x-2}{3x-1} + C_1, & \text{если } x \in (-\infty; \frac{1}{3}) \\ \frac{x-2}{3x-1} + C_2, & \text{если } x \in (\frac{1}{3}; +\infty) \end{cases}$ , где $C_1$ и $C_2$ — произвольные и независимые друг от друга постоянные.

Ответ: Общий вид первообразных на промежутке $(-\infty; \frac{1}{3})$ есть $y = \frac{x-2}{3x-1} + C_1$; на промежутке $(\frac{1}{3}; +\infty)$ есть $y = \frac{x-2}{3x-1} + C_2$, где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные.

9.8. Для функции $f$ найдите первообразную, график которой проходит через указанную точку:

1) $f(x) = x^2$, $A (-1; 3)$;

2) $f(x) = \sin x$, $F (\pi; -1)$;

3) $f(x) = e^x$, $C (0; -6)$.

1) f(x) = x², A(-1; 3);

Чтобы найти первообразную для функции $f(x)$, график которой проходит через заданную точку, сначала найдем общий вид первообразной, а затем, используя координаты точки, определим значение константы интегрирования $C$.

Общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = x^2$ находится путем интегрирования:
$F(x) = \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C$.

Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку $A(-1; 3)$. Это означает, что при $x = -1$, значение функции $F(x)$ равно $3$, то есть $F(-1) = 3$.
Подставим эти значения в уравнение для $F(x)$:
$3 = \frac{(-1)^3}{3} + C$
$3 = \frac{-1}{3} + C$

Отсюда найдем $C$:
$C = 3 + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.

Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию:
$F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{10}{3}$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{10}{3}$

2) f(x) = sin x, F(π; -1);

Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = \sin x$:
$F(x) = \int \sin x dx = -\cos x + C$.

График первообразной проходит через точку с координатами $(\pi; -1)$. Это означает, что $F(\pi) = -1$.
Подставим эти значения в уравнение для $F(x)$:
$-1 = -\cos(\pi) + C$

Так как $\cos(\pi) = -1$, получаем:
$-1 = -(-1) + C$
$-1 = 1 + C$
$C = -1 - 1 = -2$.

Следовательно, искомая первообразная имеет вид:
$F(x) = -\cos x - 2$.

Ответ: $F(x) = -\cos x - 2$

3) f(x) = eˣ, C(0; -6).

Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = e^x$:
$F(x) = \int e^x dx = e^x + C$.

График первообразной проходит через точку $C(0; -6)$, что означает $F(0) = -6$.
Подставим эти значения в уравнение для $F(x)$:
$-6 = e^0 + C$

Так как $e^0 = 1$, получаем:
$-6 = 1 + C$
$C = -6 - 1 = -7$.

Таким образом, искомая первообразная:
$F(x) = e^x - 7$.

Ответ: $F(x) = e^x - 7$

9.9. Для функции $f$ найдите первообразную, график которой проходит через указанную точку:

1) $f(x) = x^3$, $M(1; \frac{5}{4});$

2) $f(x) = \cos x$, $N(\frac{\pi}{6}; \frac{5}{2});$

3) $f(x) = 3^x$, $K(2; \frac{9}{\ln 3}).$

1) $f(x) = x^3$, $M(1; \frac{5}{4})$

Задача состоит в том, чтобы найти такую первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$, что ее график проходит через заданную точку $M$.

Сначала найдем общий вид всех первообразных для функции $f(x) = x^3$. Для этого используем формулу интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$F(x) = \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).

Теперь используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(1; \frac{5}{4})$. Это означает, что при $x=1$ значение функции $F(x)$ должно быть равно $\frac{5}{4}$, то есть $F(1) = \frac{5}{4}$.

Подставим $x=1$ в выражение для $F(x)$:

$F(1) = \frac{1^4}{4} + C = \frac{1}{4} + C$

Приравняем полученное выражение к заданному значению:

$\frac{1}{4} + C = \frac{5}{4}$

Решим уравнение относительно $C$:

$C = \frac{5}{4} - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1$

Подставим найденное значение $C=1$ в общую формулу первообразной.

Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} + 1$

2) $f(x) = \cos x$, $N(\frac{\pi}{6}; \frac{5}{2})$

Найдем общий вид первообразных для функции $f(x) = \cos x$. Первообразной для косинуса является синус.

$F(x) = \int \cos x dx = \sin x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

График искомой первообразной проходит через точку $N(\frac{\pi}{6}; \frac{5}{2})$, что означает $F(\frac{\pi}{6}) = \frac{5}{2}$.

Подставим $x = \frac{\pi}{6}$ в выражение для $F(x)$:

$F(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) + C$

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$F(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} + C$

Приравняем это к заданному значению:

$\frac{1}{2} + C = \frac{5}{2}$

Найдем $C$:

$C = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Подставим найденное значение $C=2$ в общую формулу первообразной.

Ответ: $F(x) = \sin x + 2$

3) $f(x) = 3^x$, $K(2; \frac{9}{\ln 3})$

Найдем общий вид первообразных для показательной функции $f(x) = 3^x$. Используем формулу $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$:

$F(x) = \int 3^x dx = \frac{3^x}{\ln 3} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

График первообразной проходит через точку $K(2; \frac{9}{\ln 3})$, значит, $F(2) = \frac{9}{\ln 3}$.

Подставим $x=2$ в выражение для $F(x)$:

$F(2) = \frac{3^2}{\ln 3} + C = \frac{9}{\ln 3} + C$

Приравняем это к заданному значению:

$\frac{9}{\ln 3} + C = \frac{9}{\ln 3}$

Найдем $C$:

$C = \frac{9}{\ln 3} - \frac{9}{\ln 3} = 0$

Поскольку $C=0$, искомая первообразная имеет следующий вид.

Ответ: $F(x) = \frac{3^x}{\ln 3}$

9.10. Для функции $f$ найдите на промежутке $I$ первообразную $F$, которая принимает данное значение в указанной точке:

1) $f(x) = \frac{1}{x^2}$, $I = (0; +\infty)$, $F\left(\frac{1}{3}\right) = -9$;

2) $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$, $I = \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$, $F\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3\sqrt{3}$;

3) $f(x) = \frac{1}{x}$, $I = (-\infty; 0)$, $F(-e^3) = 7;

4) $f(x) = \frac{1}{x^4}$, $I = (-\infty; 0)$, $F\left(-\frac{1}{2}\right) = 3.

1) Для функции $f(x) = \frac{1}{x^2}$ на промежутке $I = (0; +\infty)$ найдем первообразную $F(x)$, удовлетворяющую условию $F(\frac{1}{3}) = -9$.

Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x)$, вычислив неопределенный интеграл. Функцию $f(x)$ можно записать в виде $f(x) = x^{-2}$.

$F(x) = \int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$,

где $C$ – произвольная постоянная (константа интегрирования).

Теперь используем заданное условие $F(\frac{1}{3}) = -9$, чтобы найти значение $C$. Подставим $x = \frac{1}{3}$ в выражение для $F(x)$:

$F(\frac{1}{3}) = -\frac{1}{1/3} + C = -3 + C$.

Приравниваем полученное выражение к заданному значению:

$-3 + C = -9$

$C = -9 + 3 = -6$.

Подставляем найденное значение $C$ в общую формулу первообразной. Искомая первообразная:

$F(x) = -\frac{1}{x} - 6$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x} - 6$.

2) Для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ на промежутке $I = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ найдем первообразную $F(x)$, удовлетворяющую условию $F(\frac{\pi}{3}) = 3\sqrt{3}$.

Общий вид первообразной для $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ находится с помощью табличного интеграла:

$F(x) = \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$.

Эта формула верна на любом интервале, где $\cos x \ne 0$, в том числе на заданном интервале $I = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Используем условие $F(\frac{\pi}{3}) = 3\sqrt{3}$ для нахождения константы $C$. Подставим $x = \frac{\pi}{3}$ в выражение для $F(x)$:

$F(\frac{\pi}{3}) = \tan(\frac{\pi}{3}) + C$.

Зная, что $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$, получаем:

$\sqrt{3} + C = 3\sqrt{3}$

$C = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Следовательно, искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = \tan x + 2\sqrt{3}$.

Ответ: $F(x) = \tan x + 2\sqrt{3}$.

3) Для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ на промежутке $I = (-\infty; 0)$ найдем первообразную $F(x)$, удовлетворяющую условию $F(-e^3) = 7$.

Общий вид первообразной для $f(x) = \frac{1}{x}$ дается формулой:

$F(x) = \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$.

Поскольку по условию задачи мы рассматриваем промежуток $I = (-\infty; 0)$, то для всех $x$ из этого промежутка выполняется $x < 0$. Следовательно, $|x| = -x$. Таким образом, на данном промежутке первообразная имеет вид:

$F(x) = \ln(-x) + C$.

Теперь используем условие $F(-e^3) = 7$ для нахождения $C$. Подставим $x = -e^3$:

$F(-e^3) = \ln(-(-e^3)) + C = \ln(e^3) + C$.

Используя свойство логарифма $\ln(e^a) = a$, получаем:

$3 + C = 7$

$C = 7 - 3 = 4$.

Таким образом, искомая первообразная:

$F(x) = \ln(-x) + 4$.

Ответ: $F(x) = \ln(-x) + 4$.

4) Для функции $f(x) = \frac{1}{x^4}$ на промежутке $I = (-\infty; 0)$ найдем первообразную $F(x)$, удовлетворяющую условию $F(-\frac{1}{2}) = 3$.

Найдем общий вид первообразной, представив функцию в виде $f(x) = x^{-4}$ и проинтегрировав ее:

$F(x) = \int \frac{1}{x^4} dx = \int x^{-4} dx = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C$.

Используем заданное условие $F(-\frac{1}{2}) = 3$ для нахождения константы $C$. Подставим $x = -\frac{1}{2}$ в выражение для $F(x)$:

$F(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{3(-\frac{1}{2})^3} + C = -\frac{1}{3(-\frac{1}{8})} + C = -\frac{1}{-\frac{3}{8}} + C = \frac{8}{3} + C$.

Приравниваем это значение к 3:

$\frac{8}{3} + C = 3$

$C = 3 - \frac{8}{3} = \frac{9}{3} - \frac{8}{3} = \frac{1}{3}$.

Следовательно, искомая первообразная:

$F(x) = -\frac{1}{3x^3} + \frac{1}{3}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3x^3} + \frac{1}{3}$.