Страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какую функцию называют первообразной данной функции на заданном промежутке?

Функцию $F(x)$ называют первообразной для функции $f(x)$ на некотором заданном промежутке $I$, если для всех значений $x$ из этого промежутка справедливо равенство:

$F'(x) = f(x)$

Это означает, что первообразная — это такая функция, производная которой равна исходной функции $f(x)$. Нахождение первообразной (или интегрирование) является операцией, обратной дифференцированию.

Пример:

Для функции $f(x) = 2x$, первообразной является функция $F(x) = x^2$, потому что производная от $x^2$ равна $2x$, то есть $(x^2)' = 2x$.

Важно понимать, что если функция $f(x)$ имеет одну первообразную $F(x)$, то она имеет бесконечное множество первообразных. Все они отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину $C$ и имеют вид $F(x) + C$. Это связано с тем, что производная любой константы равна нулю: $(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)$. Множество всех первообразных для функции $f(x)$ называется неопределенным интегралом от функции $f(x)$ и обозначается $\int f(x) \,dx$.

Ответ: Первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке называют такую функцию $F(x)$, производная которой в каждой точке этого промежутка равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.

2. Сформулируйте основное свойство первообразной.

Основное свойство первообразной, которое является фундаментальной теоремой в интегральном исчислении, устанавливает связь между всеми возможными первообразными для одной и той же функции.

Формулировка свойства следующая: если функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке $I$, то любая другая первообразная для $f(x)$ на этом же промежутке может быть представлена в виде $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа).

Это свойство включает в себя два утверждения:

1. Любая функция вида $F(x) + C$ является первообразной для $f(x)$.

2. Для любой первообразной $G(x)$ функции $f(x)$ существует такая константа $C$, что $G(x) = F(x) + C$.

Доказательство:

Сначала докажем первое утверждение. Чтобы показать, что функция $Y(x) = F(x) + C$ является первообразной для $f(x)$, нужно найти ее производную и убедиться, что она равна $f(x)$. Используя правило дифференцирования суммы, получаем: $$Y'(x) = (F(x) + C)' = F'(x) + (C)'$$ По условию, $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, следовательно, $F'(x) = f(x)$. Производная от константы $C$ равна нулю, то есть $(C)'=0$. Таким образом: $$Y'(x) = f(x) + 0 = f(x)$$ Это доказывает, что любая функция вида $F(x) + C$ является первообразной для $f(x)$.

Теперь докажем второе утверждение. Пусть $G(x)$ — это какая-либо другая (произвольная) первообразная для функции $f(x)$ на том же промежутке $I$. Это означает, что $G'(x) = f(x)$. Рассмотрим разность двух первообразных, $F(x)$ и $G(x)$, и обозначим ее как новую функцию $\Phi(x) = G(x) - F(x)$. Найдем производную этой функции: $$\Phi'(x) = (G(x) - F(x))' = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0$$ Из дифференциального исчисления известно (как следствие из теоремы Лагранжа), что если производная функции равна нулю на всем промежутке, то сама функция на этом промежутке является постоянной. Следовательно, $\Phi(x) = C$ для некоторой константы $C$. Из этого следует, что $G(x) - F(x) = C$, что эквивалентно $G(x) = F(x) + C$. Это доказывает, что любая первообразная $G(x)$ отличается от первообразной $F(x)$ на некоторую константу.

Геометрический смысл этого свойства состоит в том, что графики всех первообразных для данной функции $f(x)$ представляют собой семейство кривых, которые получаются друг из друга путем параллельного переноса вдоль оси ординат $Oy$.

Совокупность всех первообразных для функции $f(x)$ называется неопределенным интегралом от функции $f(x)$ и обозначается $\int f(x) \,dx$. Таким образом, основное свойство первообразной позволяет записать: $$\int f(x) \,dx = F(x) + C$$

Ответ: Основное свойство первообразной гласит, что если $F(x)$ является одной из первообразных для функции $f(x)$ на заданном промежутке, то все множество первообразных для $f(x)$ на этом промежутке задается формулой $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

3. Какую запись называют общим видом первообразных функции $f$ на заданном промежутке?

Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. То есть, производная от первообразной $F(x)$ равна исходной функции $f(x)$.

Основная теорема о первообразных гласит, что если $F(x)$ является одной из первообразных для функции $f(x)$, то любая другая первообразная для $f(x)$ может быть представлена в виде $F(x) + C$, где $C$ — это произвольная постоянная (константа). Это следует из того факта, что производная любой константы равна нулю: $(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)$. Таким образом, существует целое семейство функций-первообразных, которые отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Какую запись называют общим видом первообразных функции f на заданном промежутке?
Совокупность всех первообразных для функции $f(x)$ на заданном промежутке и называют общим видом первообразных. Эта совокупность записывается в виде следующего выражения:

$F(x) + C$

В этой записи:

• $F(x)$ — это одна, любая конкретная, первообразная для функции $f(x)$.
• $C$ — произвольная постоянная (или, как ее еще называют, константа интегрирования), $C \in \mathbb{R}$.

Эта запись охватывает все без исключения функции, которые являются первообразными для $f(x)$ на данном промежутке, и представляет собой семейство функций.

Ответ: Общим видом первообразных функции $f$ на заданном промежутке называют запись $F(x) + C$, где $F(x)$ — одна из первообразных для функции $f$, а $C$ — произвольная постоянная.

4. Что называют неопределённым интегралом функции $f$ на промежутке $I$?

Чтобы дать определение неопределённому интегралу, необходимо сначала рассмотреть понятие первообразной функции.

Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке $I$, если для любого $x$ из этого промежутка выполняется следующее равенство: $$F'(x) = f(x)$$ Это означает, что производная от первообразной функции $F(x)$ равна исходной функции $f(x)$.

Если для функции $f(x)$ найдена одна первообразная $F(x)$, то любая другая функция вида $G(x) = F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная, также будет являться её первообразной. Это wynikaет из того, что производная от константы равна нулю: $G'(x) = (F(x) + C)' = F'(x) + (C)' = f(x) + 0 = f(x)$. Таким образом, у функции существует целое семейство первообразных, отличающихся друг от друга на константу.

Неопределённым интегралом функции $f$ на промежутке $I$ называют совокупность всех её первообразных на этом промежутке.

Обозначается неопределённый интеграл символом $\int$ и записывается следующим образом: $$\int f(x)dx = F(x) + C$$ В этой формуле:

• $\int$ — это знак интеграла.
• $f(x)$ — подынтегральная функция.
• $f(x)dx$ — подынтегральное выражение.
• $F(x)$ — одна из первообразных для функции $f(x)$.
• $C$ — произвольная постоянная, называемая постоянной интегрирования.

Процесс нахождения неопределённого интеграла называется интегрированием и является операцией, обратной дифференцированию.

Ответ: Неопределённым интегралом функции $f$ на промежутке $I$ называется совокупность всех её первообразных на этом промежутке. Если $F(x)$ является одной из первообразных для функции $f(x)$ (то есть $F'(x) = f(x)$), то неопределённый интеграл записывается как $\int f(x)dx = F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

9.1. Определите, является ли функция F первообразной функции f:

1) $F(x) = 3x^2 + x - 2, f(x) = 6x + 1;$

2) $F(x) = x^{-4}, f(x) = -4x^{-5}$ на промежутке $(0; +\infty);$

3) $F(x) = \sin x + 3, f(x) = \cos x + 3;$

4) $F(x) = \cos 2x, f(x) = -\sin 2x;$

5) $F(x) = \sqrt{2x + 1}, f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$ на промежутке $(-\frac{1}{2}; +\infty);$

6) $F(x) = 5^x, f(x) = 5^x \ln 5.$

Функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Для решения задачи необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить ее с функцией $f(x)$.

1) $F(x) = 3x^2 + x - 2, f(x) = 6x + 1$
Найдем производную функции $F(x)$:
$F'(x) = (3x^2 + x - 2)' = (3x^2)' + (x)' - (2)' = 3 \cdot 2x + 1 - 0 = 6x + 1$.
Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = 6x + 1$ и $f(x) = 6x + 1$.
Так как $F'(x) = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: да, является.

2) $F(x) = x^{-4}, f(x) = -4x^{-5}$ на промежутке $(0; +\infty)$
Найдем производную функции $F(x)$, используя формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$F'(x) = (x^{-4})' = -4 \cdot x^{-4-1} = -4x^{-5}$.
Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = -4x^{-5}$ и $f(x) = -4x^{-5}$.
Так как $F'(x) = f(x)$ на промежутке $(0; +\infty)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: да, является.

3) $F(x) = \sin x + 3, f(x) = \cos x + 3$
Найдем производную функции $F(x)$:
$F'(x) = (\sin x + 3)' = (\sin x)' + (3)' = \cos x + 0 = \cos x$.
Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = \cos x$ и $f(x) = \cos x + 3$.
Так как $F'(x) \neq f(x)$, функция $F(x)$ не является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: нет, не является.

4) $F(x) = \cos 2x, f(x) = -\sin 2x$
Найдем производную сложной функции $F(x)$, используя правило $(\cos(u))' = -\sin(u) \cdot u'$:
$F'(x) = (\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin 2x$.
Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = -2\sin 2x$ и $f(x) = -\sin 2x$.
Так как $F'(x) \neq f(x)$, функция $F(x)$ не является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: нет, не является.

5) $F(x) = \sqrt{2x + 1}, f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$ на промежутке $(-\frac{1}{2}; +\infty)$
Найдем производную сложной функции $F(x)$, представив ее в виде $F(x) = (2x+1)^{1/2}$:
$F'(x) = ((2x+1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(2x+1)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (2x+1)' = \frac{1}{2}(2x+1)^{-1/2} \cdot 2 = (2x+1)^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$.
Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$ и $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$.
Так как $F'(x) = f(x)$ на заданном промежутке, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: да, является.

6) $F(x) = 5^x, f(x) = 5^x \ln 5$
Найдем производную функции $F(x)$, используя формулу производной показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$:
$F'(x) = (5^x)' = 5^x \ln 5$.
Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:
$F'(x) = 5^x \ln 5$ и $f(x) = 5^x \ln 5$.
Так как $F'(x) = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: да, является.

9.2. Докажите, что функция F является первообразной функции f на промежутке I:

1) $F(x) = x^4 - 2x^2 + 6$, $f(x) = 4x^3 - 4x$, $I = (-\infty; +\infty);$

2) $F(x) = \frac{1}{x^3}$, $f(x) = -\frac{3}{x^4}$, $I = (-\infty; 0);$

3) $F(x) = 5 - 3\sqrt{x}$, $f(x) = -\frac{3}{2\sqrt{x}}$, $I = (0; +\infty);$

4) $F(x) = 3\operatorname{tg}\frac{x}{3} + 6$, $f(x) = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{3}}$, $I = \left(-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right).$

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке $I$, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Для доказательства необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить ее с функцией $f(x)$.

1) Даны функции $F(x) = x^4 - 2x^2 + 6$ и $f(x) = 4x^3 - 4x$ на промежутке $I = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (x^4 - 2x^2 + 6)' = (x^4)' - (2x^2)' + (6)'$

Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и то, что производная константы равна нулю, получаем:

$F'(x) = 4x^{4-1} - 2 \cdot 2x^{2-1} + 0 = 4x^3 - 4x$

Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$:

$F'(x) = 4x^3 - 4x = f(x)$

Равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется для всех $x \in (-\infty; +\infty)$. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на данном промежутке.

Ответ: Доказано, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на промежутке $I$, так как $F'(x) = f(x)$.

2) Даны функции $F(x) = \frac{1}{x^3}$ и $f(x) = -\frac{3}{x^4}$ на промежутке $I = (-\infty; 0)$.

Представим функцию $F(x)$ в виде степени: $F(x) = x^{-3}$.

Найдем производную функции $F(x)$ по правилу дифференцирования степенной функции:

$F'(x) = (x^{-3})' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4}$

Перепишем результат в виде дроби:

$F'(x) = -\frac{3}{x^4}$

Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$:

$F'(x) = -\frac{3}{x^4} = f(x)$

Равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется для всех $x$ из промежутка $I = (-\infty; 0)$. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на данном промежутке.

Ответ: Доказано, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на промежутке $I$, так как $F'(x) = f(x)$.

3) Даны функции $F(x) = 5 - 3\sqrt{x}$ и $f(x) = -\frac{3}{2\sqrt{x}}$ на промежутке $I = (0; +\infty)$.

Представим функцию $F(x)$ в виде степени: $F(x) = 5 - 3x^{1/2}$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (5 - 3x^{1/2})' = (5)' - (3x^{1/2})' = 0 - 3 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = -\frac{3}{2}x^{-1/2}$

Перепишем результат с использованием корня:

$F'(x) = -\frac{3}{2\sqrt{x}}$

Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$:

$F'(x) = -\frac{3}{2\sqrt{x}} = f(x)$

Равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется для всех $x$ из промежутка $I = (0; +\infty)$. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на данном промежутке.

Ответ: Доказано, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на промежутке $I$, так как $F'(x) = f(x)$.

4) Даны функции $F(x) = 3\text{tg}\frac{x}{3} + 6$ и $f(x) = \frac{1}{\cos^2\frac{x}{3}}$ на промежутке $I = (-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.

Найдем производную функции $F(x)$. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции $(\text{tg}(u))' = \frac{u'}{\cos^2(u)}$.

$F'(x) = (3\text{tg}\frac{x}{3} + 6)' = (3\text{tg}\frac{x}{3})' + (6)'$

Здесь внутренняя функция $u(x) = \frac{x}{3}$, ее производная $u'(x) = (\frac{x}{3})' = \frac{1}{3}$.

$F'(x) = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{3})} \cdot (\frac{x}{3})' + 0 = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{3})} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{\cos^2\frac{x}{3}}$

Сравниваем полученный результат с функцией $f(x)$:

$F'(x) = \frac{1}{\cos^2\frac{x}{3}} = f(x)$

Функция $F(x)$ дифференцируема там, где $\cos(\frac{x}{3}) \neq 0$, то есть $\frac{x}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, или $x \neq \frac{3\pi}{2} + 3\pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.

Заданный промежуток $I = (-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$ не содержит точек, где производная не существует. Равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется для всех $x$ из этого промежутка. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на данном промежутке.

Ответ: Доказано, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на промежутке $I$, так как $F'(x) = f(x)$.

9.3. Является ли функция $F(x) = \frac{1}{x^2}$ первообразной функции $f(x) = -\frac{2}{x^3}$ на промежутке:

1) $(0; +\infty)$;

2) $(-2; 2)$;

3) $(-\infty; 0]$;

4) $(-6; 0)$?

Функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняются два условия:
1. Функция $F(x)$ дифференцируема на этом промежутке.
2. Производная функции $F(x)$ равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.

Сначала найдем производную функции $F(x) = \frac{1}{x^2}$. Для удобства представим ее в виде степенной функции: $F(x) = x^{-2}$.
Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:
$F'(x) = (x^{-2})' = -2 \cdot x^{-2-1} = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.

Мы видим, что $F'(x) = f(x)$. Таким образом, второе условие выполнено.
Теперь проверим первое условие для каждого из предложенных промежутков. Функция $F(x) = \frac{1}{x^2}$ определена и дифференцируема для всех действительных чисел, кроме $x=0$, так как в этой точке знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на любом промежутке, который не содержит точку $x=0$.

1) (0; +∞)

Данный промежуток не содержит точку $x=0$. На всем этом промежутке функция $F(x)$ дифференцируема и ее производная равна $f(x)$. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на промежутке $(0; +\infty)$.
Ответ: да.

2) (-2; 2)

Данный промежуток содержит точку $x=0$. В этой точке функция $F(x) = \frac{1}{x^2}$ не определена и, следовательно, не дифференцируема. Поскольку условие дифференцируемости должно выполняться для всех точек промежутка, $F(x)$ не является первообразной для $f(x)$ на промежутке $(-2; 2)$.
Ответ: нет.

3) (-∞; 0]

Данный промежуток содержит точку $x=0$. В этой точке функция $F(x)$ не определена. Следовательно, она не может быть первообразной на этом промежутке.
Ответ: нет.

4) (-6; 0)

Данный промежуток не содержит точку $x=0$. На всем этом промежутке функция $F(x)$ дифференцируема и $F'(x) = f(x)$. Следовательно, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на промежутке $(-6; 0)$.
Ответ: да.

9.4. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = 5$;

2) $f(x) = x$;

3) $f(x) = x^6$;

4) $f(x) = 2^x$;

5) $f(x) = \frac{1}{x^7}$ на промежутке $(-\infty; 0)$;

6) $f(x) = \sqrt{x}$ на промежутке $[1; +\infty)$;

7) $f(x) = \sqrt[5]{x}$ на промежутке $(-\infty; -3)$;

8) $f(x) = x^{-5}$ на промежутке $(0; +\infty)$.

1)

Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = 5$ используется правило нахождения первообразной для константы. Если $f(x) = k$, где $k$ — постоянная, то ее первообразная $F(x) = kx + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).

В данном случае $k=5$, следовательно, общий вид первообразных:

$F(x) = 5x + C$.

Ответ: $F(x) = 5x + C$.

2)

Функция $f(x) = x$ является степенной функцией $x^1$. Для нахождения ее первообразной применяется формула для степенной функции $f(x) = x^n$ (при $n \neq -1$), общий вид первообразных для которой $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Здесь $n=1$, поэтому:

$F(x) = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^2}{2} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + C$.

3)

Для функции $f(x) = x^6$ используется та же формула для степенной функции, что и в предыдущем пункте. В данном случае показатель степени $n=6$.

$F(x) = \frac{x^{6+1}}{6+1} + C = \frac{x^7}{7} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^7}{7} + C$.

4)

Функция $f(x) = 2^x$ является показательной функцией вида $f(x) = a^x$. Общий вид ее первообразных находится по формуле $F(x) = \frac{a^x}{\ln a} + C$, где $a > 0$ и $a \neq 1$.

Здесь основание $a=2$, поэтому:

$F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + C$.

5)

Функцию $f(x) = \frac{1}{x^7}$ на промежутке $(-\infty; 0)$ можно представить в виде степенной функции: $f(x) = x^{-7}$.

Применяем формулу для степенной функции с $n=-7$. Так как $n \neq -1$, формула применима.

$F(x) = \frac{x^{-7+1}}{-7+1} + C = \frac{x^{-6}}{-6} + C = -\frac{1}{6x^6} + C$.

Функция и ее первообразная определены на указанном промежутке.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{6x^6} + C$.

6)

Функцию $f(x) = \sqrt{x}$ на промежутке $[1; +\infty)$ представим в виде степенной функции: $f(x) = x^{1/2}$.

Применяем формулу для степенной функции с $n=1/2$.

$F(x) = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$.

Результат также можно записать в виде $F(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$.

7)

Функцию $f(x) = \sqrt[5]{x}$ на промежутке $(-\infty; -3)$ представим в виде степенной функции: $f(x) = x^{1/5}$.

Применяем формулу для степенной функции с $n=1/5$.

$F(x) = \frac{x^{\frac{1}{5}+1}}{\frac{1}{5}+1} + C = \frac{x^{6/5}}{6/5} + C = \frac{5}{6}x^{6/5} + C$.

Результат можно также записать в виде $F(x) = \frac{5}{6}\sqrt[5]{x^6} + C$. Функция и ее первообразная определены на указанном промежутке.

Ответ: $F(x) = \frac{5}{6}x^{6/5} + C$.

8)

Для функции $f(x) = x^{-5}$ на промежутке $(0; +\infty)$ применяем формулу для степенной функции с $n=-5$.

$F(x) = \frac{x^{-5+1}}{-5+1} + C = \frac{x^{-4}}{-4} + C = -\frac{1}{4x^4} + C$.

Функция и ее первообразная определены на указанном промежутке.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{4x^4} + C$.